- Gemeinsames Spektrum
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Das gemeinsame Spektrum von endlich vielen Elementen einer kommutativen
-Banachalgebra verallgemeinert den in der Mathematik bei der Untersuchung von Banachalgebren verwendeten Begriff des Spektrums eines Elementes.
Inhaltsverzeichnis
Motivation und Definition
Sei A eine
-Banachalgebra mit Einselement 1. Das Spektrum σ(a) eines Elementes
ist die Menge aller komplexen Zahlen λ, für die das Element
nicht invertierbar ist. Bezeichnet man mit XA die Menge aller
-Homomorphismen
, so hat man im Falle einer kommutativen Banachalgebra die Beziehung
.
Diese Beziehung kann man auch auf mehrere Elemente einer Banachalgebra ausdehnen. Für eine kommutative
-Banachalgebra A mit Einselement und Elementen
setzt man
.
heißt das gemeinsame Spektrum der Elemente
. Hat die Banachalgebra kein Einselement, so adjungierte man ein Einselement und definiere dort das gemeinsame Spektrum.
Eigenschaften
Invertierbarkeit
Der Zusammenhang zwischen Spektrum und Invertierbarkeit verallgemeinert sich wie folgt auf die Situation mehrerer Elemente:
Ist A eine kommutative
-Banachalgebra mit 1,
,
, so sind folgende Aussagen äquivalent:
- Es gibt
mit
Kompaktheit
Das gemeinsame Spektrum
von endlich vielen Elementen einer kommutativen
-Banachalgebra ist eine kompakte Teilmenge von
. Die Abbildung
ist nach Definition der schwach-*-Topologie, die auf dem Gelfand-Raum XA betrachtet wird, stetig. Da der Gelfand-Raum einer Banachalgebra mit 1 kompakt ist, ergibt sich daraus die Kompaktheit des gemeinsamen Spektrums, denn stetige Bilder kompakter Mengen sind wieder kompakt.
Polynomkonvexität
Eine Banachalgebra A wird per definitionem von Elementen
erzeugt, wenn A die kleinste Unterbanachalgebra von A ist, die
enthält.
Für eine Teilmenge
kann man zeigen, dass genau dann K = σ(a) gilt für eine kommutative
-Banachalgebra mit Einselement, die von einem Element
erzeugt wird, wenn K kompakt und
zusammenhängend ist.
Eine entsprechende topologische Charakterisierung von Mengen im
, die als gemeinsames Spektrum von erzeugenden Elementen
einer kommutativen
-Banachalgebra mit Einselement auftreten, gelingt nicht. Da eine kompakte Menge
genau dann polynomkonvex ist, wenn
zusammenhängend ist, stellt der folgende Satz eine Verallgemeinerung obigen Sachverhaltes dar:
Für eine Menge
sind folgende Aussagen äquivalent:
- Es gibt eine kommutative
-Banachalgebra mit Einslement, die von n Elementen
erzeugt wird, so dass
.
- K ist kompakt und polynomkonvex.
Hat man endlich viele Elemente, die nicht die gesamte Banachalgebra erzeugen, so ist deren gemeinsames Spektrum im Allgemeinen nicht polynomkonvex.
Literatur
- F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862
- Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Mathematical Library 1973
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