Tensorprodukt für von-Neumann-Algebren

In der mathematischen Theorie der von-Neumann-Algebren kann man ein Tensorprodukt definieren, mit dem man aus zwei von-Neumann-Algebren eine dritte erhält. Da von-Neumann-Algebren auf Hilberträumen operieren und dort gewisse Abschlusseigenschaften haben müssen, reicht die Bildung des algebraischen Tensorproduktes nicht aus; man verwendet daher die in diesem Artikel beschriebene Konstruktion.

Konstruktion

Es seien $\mathcal{A}\subset L(H)$ und $\mathcal{B}\subset L(K)$ zwei von-Neumann-Algebren auf den Hilberträumen H und K. Zwei Operatoren $A\in \mathcal{A}$ und $B\in \mathcal{B}$ definieren einen stetigen linearen Operator $A\otimes B$ auf dem Hilbertraum-Tensorprodukt $H\otimes K$, und es gilt sogar $\|A\otimes B\| = \|A\|\cdot \|B\|$ (siehe Artikel Hilbertraum-Tensorprodukt). Die von allen Operatoren der Form $A\otimes B$ mit $A\in \mathcal{A}$ und $B\in \mathcal{B}$ in $L(H\otimes K)$ erzeugte von-Neumann-Algebra, das heißt der Abschluss der Menge aller endlichen Summen solcher Operatoren bezüglich der schwachen Operatortopologie, heißt das Tensorprodukt aus $\mathcal{A}$ und $\mathcal{B}$ und wird mit $\mathcal{A}\overline{\otimes} \mathcal{B}$ bezeichnet, wobei der Querstrich über dem Tensorproduktzeichen an die Abschlussoperation erinnern soll.^[1][2]

Der Kommutantensatz

Sind $\mathcal{A}\subset L(H)$ und $\mathcal{B}\subset L(K)$ zwei von-Neumann-Algebren, $A\in \mathcal{A}$ und $B\in \mathcal{B}$ sowie A^' und B^' aus den Kommutanten $\mathcal{A}^'\subset L(H)$ bzw. $\mathcal{B}^'\subset L(K)$, so ist klar, dass $A\otimes B$ und $A^'\otimes B^'$ in $L(H\otimes K)$ vertauschen, denn $(A\otimes B)(A^'\otimes B^') = AA^'\otimes BB^' = A^'A\otimes B^'B = (A^'\otimes B^')(A\otimes B)$. Daraus ergibt sich sofort $\mathcal{A}^' \overline{\otimes} \mathcal{B}^' \subset (\mathcal{A} \overline{\otimes} \mathcal{B})^'$. Der Kommutantensatz sagt aus, dass hier sogar Gleichheit gilt^[3]:

• Sind $\mathcal{A}\subset L(H)$ und $\mathcal{B}\subset L(K)$ zwei von-Neumann-Algebren, so gilt $\mathcal{A}^' \overline{\otimes} \mathcal{B}^' = (\mathcal{A} \overline{\otimes} \mathcal{B})^'$.

Eine einfache Konsequenz ist $L(H)\overline{\otimes}L(K) = L(H\otimes K)$, was sich aber auch ohne Kommutantensatz leicht beweisen lässt.

Der Kommutantensatz kann auch benutzt werden, um zu zeigen, dass das Zentrum eines Tensorproduktes von von-Neumann-Algebren gleich dem Tensorprodukt der Zentren ist. Insbesondere ist das Tensorprodukt von Faktoren wieder ein Faktor.^[4]

Typ des Tensorprodukts

Haben die von-Neumann-Algebren $\mathcal{A}$ und $\mathcal{B}$ einen reinen Typ, so auch deren Tensorprodukt, und der Typ kann folgender Tabelle entnommen werden^[5]:

$\overline{\otimes}$	$I_n,\, n$ endlich	$I_n,\, n$ unendlich	$\quad\,II_1\quad$	$\quad II_\infty\quad$	$\quad III\quad$
$I_m,\, m$ endlich	$I_{mn}\,$	$I_{mn}\,$	$II_1\,$	$II_\infty$	$III\,$
$I_m,\, m$ unendlich	$I_{mn}\,$	$I_{mn}\,$	$II_\infty$	$II_\infty$	$III\,$
II1	$\quad\,II_1\quad$	$II_\infty$	$II_1\,$	$II_\infty$	$III\,$
$II_\infty$	$\quad II_\infty\quad$	$II_\infty$	$II_\infty$	$II_\infty$	$III\,$
$III\,$	$III\,$	$III\,$	$III\,$	$III\,$	$III\,$

Im Allgemeinen hat eine von-Neumann-Algebra keinen reinen Typ sondern ist nach dem Satz von der Typzerlegung eine endliche direkte Summe von von-Neumann-Algebren der Typen $I_n, II_1, II_\infty$ bzw. $III\,$. Damit kann obige Tabelle zur Typbestimmung der Bestandteile des Tensorproduktes $\mathcal{A} \overline{\otimes} \mathcal{B}$ herangezogen werden.

Siehe auch

Eine ganz ähnliche Konstruktion führt in der Theorie der C*-Algebren zum sogenannten räumlichen Tensorprodukt.

Einzelnachweise

1. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, § 11.2: Tensor products of von Neumann algebras
2. ↑ Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, I.2.4: Tensor products of von Neumann algebras
3. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Tabelle 11.2.16
4. ↑ Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, I.6.9: Tensor products of von Neumann algebras
5. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Tabelle 11.1