- Räumliches Tensorprodukt
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Das im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete räumliche Tensorprodukt bietet die Möglichkeit, aus C*-Algebren neue zu konstruieren. Im Allgemeinen gibt es mehrere Möglichkeiten, das algebraische Tensorprodukt zweier C*-Algebren zu einer C*-Algebra zu vervollständigen; die hier behandelte C*-Norm auf dem Tensorprodukt erweist sich als minimal unter diesen Möglichkeiten, weshalb man auch vom minimalen Tensorprodukt spricht. Die hier vorgestellte Konstruktion geht auf M. Takesaki zurück.[1].
Inhaltsverzeichnis
Definitionen
Es seien A und B zwei C*-Algebren. Eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt ist eine Norm α, so dass
- ist eine normierte Algebra
- α(s * s) = α(s)2 für alle
Ist α eine solche C*-Norm, so ist die mit bezeichnete Vervollständigung eine C*-Algebra. Ist α eine C*-Norm, die sich für jedes Paar von C*-Algebren A und B definieren lässt, so spricht man von einem α-Tensorprodukt.[2]
Man kann zeigen, dass C*-Normen automatisch die Kreuznormeigenschaft haben, das heißt es gilt für alle .[3]
In diesem Artikel werden mit Hilfe von Hilberträumen, auf denen die C*-Algebren operieren, mit σ bezeichnete C*-Normen definiert, wobei das σ wegen der verwendeten Hilberträume an spatial (deutsch: räumlich) erinnern soll.
Konstruktion
Es seien A und B zwei C*-Algebren. Nach dem Satz von Gelfand-Neumark gibt es Hilberträume H und K und isometrische *-Homomorphismen und , das heißt wir können annehmen, dass die C*-Algebren Unteralgebren der vollen Operatorenalgebra über geeigneten Hilberträumen sind. Man kann zum Beispiel die universellen Darstellungen nehmen. Man bildet nun das Hilbertraum-Tensorprodukt und betrachtet ein Element des algebraischen Tensorproduktes als Operator auf , der durch
definiert ist, wobei Wohldefiniertheit zu zeigen ist. Dann ist klar, dass die Einschränkung σ der Operatornorm von auf eine C*-Norm ist.
Unabhängigkeit von den Hilberträumen
Obige Konstruktion hängt zunächst von der Wahl der Hilberträume ab. Hier wird eine Formel für die räumliche Norm aufgestellt, die von den Hilberträumen unabhängig ist. Sind f und g Zustände auf A bzw. B, so gibt es genau einen mit bezeichneten Zustand auf mit für alle und , den sogenannten Produktzustand aus f und g. Für ein Element des algebraischen Tensorproduktes gilt nun
wobei das Supremum über alle Zustände f von A, g von B und mit gebildet wird [4]. Diese Formel zeigt die Unabhängigkeit von der Wahl der Hilberträume, denn auf der rechten Seite finden sich nur Daten der abstrakten C*-Algebren und ihrem algebraischen Tensorprodukt.
Zur Bezeichnung: Im unten angegebenen Lehrbuch von Kadison und Ringrose wird an Stelle von gschrieben, Murphy verwendet die Schreibweise .
Eigenschaften
- Sind und *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren, so gibt es genau einen mit bezeichneten *-Homomorphismus , so dass für alle . Sind beide π1 und π2 isometrisch oder *-Isomophismen, so hat dieselbe Eigenschaft.[5]
- Ist α eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt , so ist [6] [7]. Aus diesem Grunde wird das räumliche Tensorprodukt auch das minimale Tensorprodukt genannt, und man findet bisweilen die Schreibweise .
Beispiele
Seien A eine C*-Algebra und X ein kompakter Hausdorffraum. C(X,A) sei die Menge aller stetigen Funktionen . Für , und definiere:
Damit wird C(X,A) zu einer C*-Algebra und man hat einen isometrischen Isomorphismus .[8]
Seien Mn die C*-Algebra der komplexen -Matrizen und A eine C*-Algebra, die auf einem Hilbertraum H operiere. Weiter sei Mn(A) die Algebra der -Matrizen mit Einträgen aus A; diese operiert in üblicher Weise auf Hn, das heißt
Dadurch trägt Mn(A) die Norm von L(Hn) und man zeigt, dass , wobei auf abgebildet wird.
Siehe auch
- Maximales Tensorprodukt, eine weitere Tensorproduktnorm für C*-Algebren
- Nukleare C*-Algebra, C*-Algebren mit eindeutiger Tensorproduktnorm
- Eine ganz ähnliche Konstruktion führt zu einem Tensorprodukt für von-Neumann-Algebren.
Einzelnachweise
- ↑ M. Takesaki: On the cross-norm of the direct product of C*-algebras, Tohoku Mathematical Journal, Band 10 (1958), Seiten 111-122
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, §11.3
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Lemma 11.3.3
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Satz 11.1.2 und §11.3.1
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Satz 11.1.3
- ↑ Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9, Theorem 6.4.18
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 11.3.9
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Beispiel 11.1.7
Literatur
- Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9
- R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1
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