Vollständigkeit (Statistik)

Vollständigkeit ist in der mathematischen Statistik ein Begriff. Sie kann als Eigenschaft messbaren Funktionen zukommen, die aus dem Stichprobenraum in einen beliebigen Maßraum abbilden.

Vollständigkeit wird für gewöhnlich zusammen mit Suffizienz angestrebt. Während eine suffiziente Statistik einen Datensatz reduziert, ohne dass wichtige Informationen verloren gehen, reduziert ihn eine vollständige Statistik anschaulich soweit wie möglich.

Definition

Formal seien $\mathcal \Chi$ der Stichprobenraum, $\mathcal \tau$ ein beliebiger Maßraum und $T: \mathcal \Chi \rightarrow \mathcal \tau$ eine messbare Abbildung zwischen den beiden Räumen. Ferner sei $X = (X_1, \ldots X_n)$ eine Zufallsvariable auf dem Stichprobenraum, deren Verteilung aus einer Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen $\mathcal P = \{ P_{\vartheta} ; \; \vartheta \in \Theta \}$ stammt.

$T \;$ heißt dann vollständig für die Familie $\mathcal P$, falls für alle messbaren Funktionen g, die $E_{\vartheta}[g(T(X))] = 0$ für alle $\vartheta$ erfüllen, schon $P_\vartheta ( g(T(X)) = 0 ) = 1$ für alle $\vartheta$ gilt.

Man kann sagen: Wenn g ein erwartungstreuer Schätzer von 0 ist, ist g(T(X)) selber schon fast sicher gleich 0.

Gegenbeispiele

Seien X₁,X₂ stochastisch unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen mit Erwartungswert $\vartheta$ und beschränkter Varianz.

Dann ist E[X₁ − X₂] = E[g(X₁,X₂)] = 0. Die Funktion g ist also ein erwartungstreuer Schätzer von 0 und der Integrand ist nicht die Nullfunktion.

Anwendung

Statistische Vollständigkeit ist eine Voraussetzung für den Satz von Lehmann–Scheffé, in diesem Zusammenhang wurde der Begriff von E. L. Lehmann und H. Scheffé auch in die Statistik eingeführt.

Literatur

• E.L. Lehmann, H. Scheffé: Completeness, similar regions, and unbiased estimation. I. In: Sankhyā. 10, Nr. 4, 1950, S. 305–340.
• E.L. Lehmann, H. Scheffé: Completeness, similar regions, and unbiased estimation. II. In: Sankhyā. 15, Nr. 3, 1955, S. 219–236.