Satz von Lehmann–Scheffé

Der Satz von Lehmann–Scheffé (benannt nach Erich Leo Lehmann (20. November 1917 - 12. September 2009) und Henry Scheffé (11. April 1907 - 5. Juli 1977)) ist ein Satz aus der mathematischen Statistik, der zu den grundlegenden Resultaten aus der Schätz-Theorie gehört.

Formulierung

Sei $(P_\theta)_{\theta\in\Theta}$ ein statistisches Modell für $X:\Omega\rightarrow\mathcal{X}$.

Sei $g:\Theta\rightarrow\Gamma$ eine Abbildung.

Sei weiter $s:\mathcal{X}\rightarrow S$ eine suffiziente und vollständige Statistik.

Sei $t:\mathcal{X}\rightarrow\Gamma$ ein erwartungstreuer Schätzer für g(θ).

Es existiere eine messbare Abbildung $\eta:S\rightarrow\Gamma$ mit $t=\eta\circ s$.

Dann ist t gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer (bei Vorliegen der quadratischen Verlustfunktion).

Interpretation

Der Satz von Lehmann–Scheffé hilft einem bei Vorliegen einer suffizienten und vollständigen Statistik einen gleichmäßig besten erwartungstreuen Schätzer zu finden. Ebenso wie der Satz von Rao-Blackwell liefert er Kriterien für beste Schätzer.

Literatur

• Albrecht Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 2. Auflage, ISBN 9783519123958, Kapitel 17