Übergangshalbgruppe

In der Theorie der stochastischen Prozesse wird das zeitliche Veränderungsverhalten von Markow-Prozessen durch Abbildungen P_t (mit Zeitparameter $t\ge 0$) beschrieben, die eine sogenannte Übergangshalbgruppe bilden, genauer einen Halbgruppenhomomorphismus. Die Veränderung im Zeitintervall [0,s + t] lässt sich zerlegen in die Veränderung während [0,s] und die Veränderung während [s,s + t]. ($\circ$ bezeichne die Hintereinanderausführung.)

$\forall\, s,t\in\R_{\geq0}:\quad P^{[0,s]} \circ P^{[s,s+t]} = P^{[0,s+t]}$.

Bei zeitlich homogenen Prozessen ist die Veränderung P^{[s,s + t]} unabhängig von s und hängt nur von der Länge t des Intervalls ab. In der Schreibweise P^t: = P^[0,t]( = P^{[s,s + t]}) hat (P_t) folgende Eigenschaft:

$\forall\, s,t\in\R_{\geq0}:\quad P^t \circ P^s = P^{s+t}$.

Die Komposition von solchen die Veränderung während der Zeit s beschreibenden Abbildungen P^s ist also verträglich mit der Addition des Zeitparameters. Mit anderen Worten, P ist ein Halbgruppenhomomorphismus zwischen der von Zeitparameter und der Additionsoperation gebildeten Halbgruppe $([0,\infty),+)$ und der Halbgruppe $((P^s)_{s \ge 0}, \circ)$ (Transformationshalbgruppe).

In abkürzender Sprechweise spricht man schlicht von einer Halbgruppe und bezeichnet als Übergangshalbgruppe die von den Übergangskernen eines zeithomogenen Markow-Prozesses gebildete. Die Verträglichkeit der Addition im Zeitparameter und die Hintereinanderausführung von Kernen wird durch die Chapman-Kolmogorow-Gleichungen beschrieben. Die Definition der Übergangshalbgruppe macht es auf diese Weise möglich, Erkenntnisse der Halbgruppentheorie auf Markow-Prozesse anzuwenden.

Mathematische Definition (in stetiger Zeit)

Sei $(M_t)_{t \ge 0}$ ein zeitlich homogener Markow-Prozess in stetiger Zeit auf einem Zustandsraum $(E,\mathcal{E})$. Der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum sei $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ und $\mathbb{E}$ bezeichne den Erwartungswert bzgl. $\mathbb{P}$.

Für alle $x\in E$ sei $\mathbb{P}_x(\cdot):=\mathbb{P}(\cdot \mid M_0=x)$ und entsprechend $\mathbb{E}_x(\cdot):=\mathbb{E}(\cdot\mid M_0=x)$ definiert.

Seien $(P^t)_{t\in\R_{\geq0}}$ die Übergangskerne. Dann gilt

$\forall\, t\in\R_{\geq0} \ \forall\, x\in E \ \forall\, A\in\mathcal{E}: \quad P^t(x,A) = \mathbb{P}_x(M_t\in A)$

Mit der Markov-Eigenschaft gilt dann die nun folgende Chapman-Kolmogorow-Gleichung

$\forall\, s,t\in\R_{\geq0} \ \forall\, x\in E \ \forall\, A\in\mathcal{E}: \quad P^{t+s}(x,A) = \mathbb{E}_x\mathbb{P}\left( M_{s+t}\in A \mid \mathcal{F}_s \right) = \mathbb{E}_x P^t(M_s,A) = \int P^t(y,A) P^s(x,dy)\,,$^[1]

die man in Operator-Notation kurz zusammenfasst als

$\forall\, s,t\in\R_{\geq0}:\quad P^{t+s} = P^t P^s.$

Die $(P^t)_{t\in\R_{\geq0}}$ bilden somit eine Halbgruppe, die als Übergangshalbgruppe bezeichnet wird. Über die topologischen Eigenschaften von $(P^t)_{t\ge0}$ ist damit noch nichts gesagt, deswegen werden meist zusätzliche Forderungen an den Markow-Prozess gemacht, so dass $(P^t)_{t\geq0}$ in gewisser Hinsicht stetig ist - zum Beispiel im Falle der Feller-Prozesse, wobei $(P^t)_{t\ge0}$ eine stark stetige Halbgruppe auf C₀ darstellt.

Quellen

• Sören Asmussen: Applied Probability and Queues. 2. Auflage, Springer-Verlag, New-York 2003, ISBN 0387002111

Fußnoten

1. ↑ Asmussen, Seite 33