Chapman-Kolmogorow-Gleichung

Die für Markow-Ketten gültige Chapman-Kolmogorow-Gleichung stellt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Zustandes y nach m + n Schritten, beginnend im Zustand x, als Summe möglicher Wege mit Zwischenstation z dar. Formal bedeutet dies:

Sei $(X_{k})_{k\in \mathrm{N}}$ ein Markow-Prozess mit Übergangsmatrix Π und Zustandsraum Ε.

Dann gilt: $P(X_{m+n}=y \mid X_0=x) = \sum_{z\in\Epsilon} P(X_{m+n}=y \mid X_m=z) P(X_m=z \mid X_0=x)$.

Der Beweis der Gleichung wird in der Regel wie folgt geführt:

Unter Anwendung der Definition der Matrizenmultiplikation auf die Übergangsmatrix Π ergibt sich

$\begin{align} P(X_{m+n}=y \mid X_0=x) & {\overset{(*)}{=}} \Pi^{n+m}(x,y) \\ &{=} \sum_{z\in\Epsilon} \Pi^m(x,z) \Pi^n(z,y) \\ &{\overset{(*)}{=}} \sum_{z\in\Epsilon} P(X_{m+n}=y \mid X_m=z) P(X_m=z \mid X_0=x)\,, \end{align}$

wobei bei $(\ast)$ ausgenutzt wurde, dass $P(X_{m+n}=y \mid X_n=x) = \Pi^{m}(x,y)\,$ für alle $m,n\in\mathrm{N},x,y\in\mathrm{E}\,$ mit $P(X_n=x)>0\,$ gilt.

Für einen Markow-Prozess auf abzählbarem Zustandsraum mit Übergangshalbgruppe $(P(t)_{t\geq0})$ lässt sich die Chapman-Kolmogorow-Gleichung auch kurz schreiben als

$\forall\, s,t\in\R_{\geq0}:\quad P(s+t) = P(s)P(t)$

und induktiv lässt sich daraus herleiten, dass

$\forall\, n \in\N,t_1,\ldots, t_n\in\R_{\geq0}\quad P(\sum_{i=1}^n t_i) = \prod_{i=1}^n P(t_i)\,.$