Halbgruppe

In der Mathematik ist eine Halbgruppe eine algebraische Struktur bestehend aus einer Menge mit einer inneren zweistelligen Verknüpfung, die dem Assoziativgesetz genügt (also ein assoziatives Magma). Sie ist eine Verallgemeinerung einer Gruppe.

Definitionen

Halbgruppe

Eine Halbgruppe $\boldsymbol S = (S,*)$ besteht aus einer Menge S und einer inneren zweistelligen Verknüpfung

$*\colon\, S\times S \to S,\, (a,b) \mapsto a*b,$

die assoziativ ist, d. h. für alle $a,b,c \in S$ gilt

a * (b * c) = (a * b) * c.

Man muss nicht voraussetzen, dass S nichtleer ist. Die leere Menge $\emptyset$ bildet auch eine Halbgruppe bezüglich der leeren Verknüpfung

$\emptyset\colon\, \emptyset\times\emptyset \rightarrow \emptyset$,

die leere oder triviale Halbgruppe $(\emptyset,\emptyset)$ genannt wird.

Bemerkungen zur Notation

Häufig wird für die Verknüpfung * das Symbol $\cdot$ benutzt, man spricht dann von einer multiplikativ geschriebenen Halbgruppe. Wie auch bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann in vielen Situationen der Malpunkt $\cdot$ weggelassen werden.

Eine Halbgruppe lässt sich auch additiv notieren, indem für die Verknüpfung * das Symbol + benutzt wird, was man in der Regel nur für kommutative Halbgruppen tut.

Mit der Gültigkeit des Assoziativgesetzes lässt sich eine vereinfachte klammerfreie Notation einführen, denn sei

$a_1*\cdots*a_n := (a_1*\cdots*a_{n-1})*a_n$ für jedes $n \geq 3$,

dann haben alle Verknüpfungen von $a_1,\ldots,a_n$, die sich nur in der Klammerung von $a_1*\cdots*a_n$ unterscheiden, das gleiche Ergebnis wie $a_1*\cdots*a_n$ (allgemeines Assoziativgesetz, Beweis: vollständige Induktion über n), man kann also für jede dieser Verknüpfungen einfach nur $a_1*\cdots*a_n$ schreiben.^[1]

Unterhalbgruppe

Seien $\boldsymbol S = (S,*)$ eine Halbgruppe und $U \subseteq S$. Ist dann $\boldsymbol U := (U,*)$ eine Halbgruppe ( * ist hier eine vereinfachte Schreibweise für die Einschränkung $*|_{U\times U}$ von * auf $U\times U$), so heißt $\boldsymbol U$ Unterhalbgruppe von $\boldsymbol S$. Genau dann ist $\boldsymbol U$ eine Unterhalbgruppe von $\boldsymbol S$, wenn U abgeschlossen ist bezüglich * , d. h. es gilt

$a*b \in U$ für alle $a,b \in U$.

$\boldsymbol S$ nennt man dann auch Oberhalbgruppe von $\boldsymbol U$.

Faktorhalbgruppe

Ist $\boldsymbol S = (S,*)$ eine Halbgruppe und $R\subseteq S\times S$ eine mit * verträgliche Äquivalenzrelation auf S, so bildet die Faktormenge S / R von S nach R zusammen mit der durch

$[a] {\;*}_{R\;} [b] := [a*b]$

definierten Verknüpfung ${\;*}_{R\;}$ ebenfalls eine Halbgruppe. Diese Halbgruppe $\boldsymbol S/R = \left(S/R,*_R\right)$ heißt die Faktorhalbgruppe oder Quotientenhalbgruppe von $\boldsymbol S$ nach R. Die Verknüpfung ${\;*}_{R\;}$ wird die durch die Äquivalenzrelation induzierte Verknüpfung oder die kanonische Verknüpfung der Faktorhalbgruppe genannt.

Halbgruppenhomomorphismus

Eine Abbildung $\varphi\colon\, S_1\rightarrow S_2$ zwischen zwei Halbgruppen $\boldsymbol S_1 = (S_1,*_1)$ und $\boldsymbol S_2 = (S_2,*_2)$ heißt Halbgruppenhomomorphismus, wenn gilt:

$\operatorname{\varphi}(a *_1 b)=\operatorname{\varphi}(a)*_2 \operatorname{\varphi}(b)$

für alle $a,b \in S_1$. Ist aus dem Zusammenhang klar, das es sich um einen Homomorphismus zwischen Halbgruppen handelt, so lässt man den Zusatz Halbgruppen- auch weg. Je nachdem, ob φ injektiv oder surjektiv oder beides ist, heißt der Homomorphismus φ Mono-, Epi- bzw. Isomorphismus. Gilt S₁ = S₂, so heißt der Homomorphismus φ Endomorphismus von $\boldsymbol S_1$ und der Isomorphismus Automorphismus von $\boldsymbol S_1$.

Eigenschaften

Es folgt eine Übersicht über grundlegende algebraische Eigenschaften, interpretiert und angewandt auf Halbgruppen. Genauere Informationen finden sich in den entsprechenden Hauptartikeln.

Kommutativität

Die Halbgruppe $\boldsymbol S = (S,*)$ heißt kommutativ oder auch abelsch, wenn

b * a = a * b

für alle $a,b \in S$ gilt. Die Verknüpfung * selbst wird hierbei auch als kommutativ bezeichnet.

Idempotenz

→ Hauptartikel: Idempotenz

Ein Element $a \in S$ einer Halbgruppe $\boldsymbol S = (S,*)$ heißt idempotent, wenn a * a = a gilt.

Sind alle Elemente der Halbgruppe $\boldsymbol S$ idempotent, so spricht man auch von einer idempotenten Halbgruppe oder einem Band.

Kürzbarkeit

Ein Element $k \in S$ heißt in $\boldsymbol S = (S,*)$ linkskürzbar, wenn für alle $a,b \in S$

$k*a = k*b \implies a = b$

gilt, bzw. rechtskürzbar, wenn für alle $a,b \in S$

$a*k = b*k \implies a = b$

gilt. Ist k sowohl links- als auch rechtskürzbar, so heißt es zweiseitig kürzbar oder einfach nur kürzbar.

$\boldsymbol S$ heißt linkskürzbar, falls jedes Element aus S linkskürzbar ist, oder rechtskürzbar, falls jedes Element aus S rechtskürzbar ist, und kürzbar, wenn alle Elemente aus S kürzbar sind. Eine endliche, kürzbare Halbgruppe ist eine Gruppe.

Hinweis: In den folgenden Definitionen wird nur die linksseitige Variante stellvertretend für die entsprechende rechts- und beidseitige Variante aufgeführt; die rechts- und beidseitigen Varianten sind analog definiert.

Neutrales Element

Ein Element $e \in S$ einer Halbgruppe $\boldsymbol S = (S,*)$ heißt linksneutral, wenn für alle $a \in S$ gilt:

e * a = a.

Ein linksneutrales Element e ist offensichtlich idempotent, aber ebenso linkskürzbar:

$e*a = e*b \implies a = e*a = e*b = b$

für alle $a,b \in S.$ Umgekehrt ist in einer Halbgruppe (S, * ) auch jedes idempotente, linkskürzbare Element e linksneutral, denn für alle $a \in S$ gilt:

e * e * a = e * a, also e * a = a.

Gibt es in einer Halbgruppe sowohl ein links- als auch ein rechtsneutrales Element, so sind diese identisch und somit neutral. In einer Halbgruppe $\boldsymbol S$ gibt es höchstens ein neutrales Element (ansonsten entweder nur links- oder nur rechtsneutrale oder weder noch), man spricht dann von dem neutralen Element von $\boldsymbol S$. Eine Halbgruppe mit neutralem Element nennt man auch Monoid.

Invertierbarkeit und Inverses

In einer Halbgruppe $\boldsymbol S = (S,*)$ mit einem linksneutralen Element $e \in S$ ist ein Element $j \in S$ linksinvertierbar, wenn ein $i \in S$ existiert, so dass gilt:

i * j = e.

Man nennt dann i ein Linksinverses von j. Linksinvertierbare Elemente $j \in S$ sind stets linkskürzbar, denn für alle $a,b \in S$ gilt:

$j*a = j*b \implies a = e*a = i*j*a = i*j*b = e*b = b.$

Ist jedes Element in $\boldsymbol S$ linksinvertierbar, so ist auch jedes Element $j \in S$ rechtsinvertierbar, denn mit

i * j = e und h * i = e für $i,h \in S$ folgt

j * i = e * j * i = h * i * j * i = h * e * i = h * i = e.

Ebenso ist dann e rechtsneutral:

j * e = j * i * j = e * j = j.

$\boldsymbol S$ ist in diesem Fall also eine Gruppe, so dass alle Inversen eines Elements übereinstimmen.

Absorption

Ein Element $o \in S$ heißt linksabsorbierend in (S, * ), wenn für alle $a \in S$ gilt:

o * a = o.

Jedes (links- oder rechts-)absorbierende Element ist idempotent und es gibt höchstens ein absorbierendes (d. h. links- und rechtsabsorbierendes) Element in einer Halbgruppe.

Beispiele

Zur Entstehung des Namens

Die Menge $\mathbb N_0 = \{0, 1, \ldots\}$ der natürlichen Zahlen bildet mit der gewöhnlichen Addition eine kommutative und kürzbare Halbgruppe $(\mathbb N_0, +)$, die keine Gruppe ist. Da hier die negativen Zahlen fehlen, also die „Hälfte“^[2] der abelschen Gruppe $(\mathbb Z,+)$ der ganzen Zahlen, lag der Name Halbgruppe für diese Struktur nahe. Tatsächlich wurde in der Vergangenheit der Begriff „Halbgruppe“ für ein nach den oben gegebenen Definitionen kommutatives, kürzbares Monoid verwendet,^[3] später setzte sich dann die obige Definition allgemein durch.

$(\mathbb{N}, +), (\mathbb{N}_0, \cdot)$ und $(\mathbb{N}, \cdot)$ bilden Beispiele für kommutative Halbgruppen mit verschiedenen Eigenschaften bezüglich neutraler und absorbierender Elemente sowie der Kürzbarkeit.

Transformationshalbgruppen

Für eine beliebige Menge X sei $\mathcal T_X := \{\tau \mid \tau\colon X\rightarrow X\}$ die Menge aller Transformationen von X. Bezeichnet $\circ$ die Komposition von Abbildungen $\sigma,\tau \in \mathcal T_X$, also $\tau \circ \sigma\colon\, x \mapsto \tau(\sigma(x))$, dann ist $(\mathcal T_X,\circ)$ eine Halbgruppe, die volle Transformationshalbgruppe über X. Idempotente Elemente in $\mathcal T_X$ sind z. B. für jedes $a \in X$ die konstanten Abbildungen $\operatorname{c}_a\colon X\rightarrow X$ mit $\operatorname{c}_a(x) = a$ für alle $x \in X$, aber auch die identische Abbildung $\operatorname{id}_X$ auf X als neutrales Element. Unterhalbgruppen von $(\mathcal T_X,\circ)$ heißen Transformationshalbgruppen auf X.^[4]

Anwendung

Formale Sprachen

Für eine beliebige Menge $X \neq \emptyset$ sei

$X^* := \bigcup_{n \in \mathbb N_0} X^n$

die kleenesche Hülle von X. Definiert man für alle $(x_1, \ldots, x_n), (y_1, \ldots, y_m) \in X^*$ eine Multiplikation durch

$(x_1, \ldots, x_n) \cdot (y_1, \ldots, y_m) = (x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m),$

dann ist $(X^*, \cdot)$ eine Halbgruppe, die freie Halbgruppe über X. Schreibt man die Elemente $(x_1, \ldots, x_n) \in X^*$ einfach in der Form $x_1 \ldots x_n$, dann heißen die Elemente in X ^* Worte über dem Alphabet X, $\varepsilon := (\,) = \{\,\}$ ist das leere Wort und die Multiplikation $\cdot$ bezeichnet man als Konkatenation.^[5] In der theoretischen Informatik setzt man in der Regel voraus, dass ein Alphabet endlich ist, Teilmengen der kleeneschen Hülle eines Alphabets mit dem leeren Wort nennt man formale Sprachen.^[6]

Funktionalanalysis, Partielle Differentialgleichungen

Halbgruppen spielen auch eine Rolle in der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen. Sei $(A_t)_{t\geq 0} := (A_t)_{t\in [0,\infty)}$ eine Familie beschränkter Transformationen $A_t\colon\, X\rightarrow X$ auf einem vollständigen metrischen Raum (X,d), d.h. zu jedem $t \in [0,\infty)$ existiert ein $m_t \in [0,\infty)$ mit

$d(A_t(x),A_t(y)) \leq m_t\cdot d(x,y)$ für alle $x,y \in X$.

Insbesondere ist dann jedes A_t stetig und $S := \{A_t\mid t\in [0,\infty)\}$ bildet eine kommutative Halbgruppe $(S,\circ)$ mit neutralem Element $\operatorname{id}_X$, wenn gilt:

$A_0 = \operatorname{id}_X$ und

$A_{t+s} = A_t\circ A_s$ für alle $t,s \geq 0$.

Die Funktion $(A_t)_{t\geq 0}$ ist ein Halbgruppenhomomorphismus von $([0,\infty),+)$ nach $(S,\circ)$ und wird eine einparametrige Halbgruppe von Operatoren genannt (siehe auch: kontinuierliches dynamisches System). Ein A_t ist außerdem kontraktiv, falls

d(A_t(x),A_t(y)) < d(x,y) ist für alle $x,y \in X, x \neq y$.^[7]

Die Halbgruppe $(A_t)_{t\geq 0}$ heißt gleichmäßig stetig, wenn für alle $t\geq 0$ A_t ein beschränkter linearer Operator auf einem Banach-Raum $(X,\|.\|_X)$ ist und gilt:

$\lim_{t\downarrow0} \|A_t - \operatorname{id}_X\| = 0,$

wobei $\|\cdot\|$ die Operatornorm bezeichne.

Die Halbgruppe $(A_t)_{t\geq 0}$ heißt stark stetig, wenn für alle $x\in X$ die Abbildung

$[0,\infty) \to X,\, t \mapsto A_t(x),$

stetig ist; dann existieren $k,m \in \R$ mit $m \geq 1$ so, dass

$\|A_t(x)\|_X \leq me^{kt}\|x\|_X$

gilt. Kann k = 0 gewählt werden, nennt man $(A_t)_{t\geq 0}$ eine beschränkte einparametrige Halbgruppe.

Bitte weiterlesen unter stark stetige Halbgruppe.

Siehe auch

• Hierarchie mathematischer Strukturen

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. ↑ Mario Petrich: Introduction to Semigroups. S. 4. P.A. Grillet: Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. S. 4f.
2. ↑ Dass mit den negativen Zahlen eine „Hälfte“ der Menge der ganzen Zahlen fehle, mag zwar zunächst plausibel erscheinen, ist aber mathematisch nicht haltbar: In der Tat lässt sich die Menge der negativen Zahlen bijektiv auf die Menge aller ganzen Zahlen abbilden. Folglich gibt es „genauso viele negative wie ganze Zahlen“, nämlich abzählbar unendlich viele.
3. ↑ vgl. Paul Lorenzen: Abstrakte Begründung der multiplikativen Idealtheorie. Math. Z. 45 (1939), 533–553.
4. ↑ John Mackintosh Howie: Fundamentals of Semigroup Theory. S. 6. P.A. Grillet: Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. S. 2.
5. ↑ Udo Hebisch, Hanns Joachim Weinert: Halbringe: Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. S. 244.
6. ↑ John E. Hopcroft, Jeffrey Ullman: Einführung in die Automatentheorie, formale Sprachen und Komplexitätstheorie. 2. Auflage. Addison-Wesley, Bonn, München 1990, ISBN 3-89319-181-X, S. 1. 
7. ↑ Einar Hille: Methods in Classical and Functional Analysis. Addison-Wesley, Reading (Mass.) u.a. 1972. S. 165ff.

Literatur

• Pierre Antoine Grillet: Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. Marcel Dekker, New York 1995, ISBN 0-8247-9662-4.
• Udo Hebisch, Hanns Joachim Weinert: Halbringe: Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. B.G. Teubner, Stuttgart 1993, ISBN 3-519-02091-2.
• John F. Berglund, Hugo D. Junghenn, Paul Milnes: Analysis on Semigroups: Function Spaces, Compactifications, Representations. John Wiley & Sons, New York et al. 1989, ISBN 0-471-61208-1.
• John M. Howie: Fundamentals of Semigroup Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-19-851194-9.
• Mario Petrich: Introduction to Semigroups. Bell & Howell, Columbus, Ohio, 1973, ISBN 0-675-09062-8.

Weblinks

• L. N. Shevrin: Semigroup. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.
• Eric W. Weisstein: Semigroup. In: MathWorld. (englisch)
• Tero Harju: Lecture Notes on Semigroups. Universität Turku 1996 (Skript)