Doobsche Maximalungleichung

Die Doobsche Maximalungleichung ist eine der zentralen Ungleichungen in der Stochastik. Neben der Burkholder-Ungleichung ist sie eine der gängigsten Berechnungsmethoden für die (stochastische) Größenordnung von (stetigen) Martingalen.

Formulierung

Es sei $(M_t)_t\;$ ein an die Filtration $\mathcal F$ adaptiertes nichtnegatives Submartingal und p und q zueinander konjugierte reelle Zahlen mit p > 0. Dann gilt für alle T > 0:

$||\sup_{t \leq T} M_t||_p \leq q ||M_T||_p$.

Dabei bezeichnet $|| \cdot ||_{p}$ die Lp-Norm. Der zentrale Beweisschritt ist die Anwendung der Hölder-Ungleichung.

Insbesondere ist $(|M_t|)_t\;$ ein Submartingal, wenn $(M_t)_t\;$ ein Martingal ist.