E-Kurve

E-Kurve

Die E-Kurve zählt zur Gruppe der so genannten FASS-Kurven (space-filling, self-avoiding, simple, self-similar). Diese Kurven sind raum- bzw. flächenfüllend, selbstausweichend (d.h. überschneidungs- und berührungsfrei), einfach und selbstähnlich.

Durch Wiederholung ihres Konstruktionsverfahrens, bei dem jedes einzelne Segment des Linienzuges durch ein verkleinertes Abbild des gesamten Linienzuges ersetzt wird, kommt die E-Kurve nach einer ausreichenden Anzahl von Konstruktionsschritten jedem beliebigen Punkt einer quadratischen Fläche beliebig nahe ohne sich selbst zu schneiden. Der Grenzwert dieser unendlichen Folge selbstähnlicher Kurven füllt die Fläche vollständig aus.

Erläuterung des Konstruktionsverfahrens

Einem Quadrat wird eine E-Kurve der Stufe n = 1 eingeschrieben:

Illustration E-Kurve

Um leichter darstellen zu können, wie in der Folge die einzelnen Segmente des Linienzuges ersetzt werden, wird das folgende Muster angewendet, bei dem einerseits zwischen hellen und dunklen Teilquadraten unterschieden wird und andererseits jeweils die Orientierung der Quadrate (siehe Markierung) beachtet werden muss:

Illustration E-Kurve

In der Folge werden die dunklen Quadrate durch dasselbe Muster ersetzt (Orientierung beachten!):

Illustration E-Kurve

Und die hellen Quadrate durch das negative Abbild des Musters (Orientierung beachten!):

Illustration E-Kurve

Nach diesem Schritt erhält man eine E-Kurve der Stufe n = 2:

Illustration E-Kurve

Dieses Verfahren kann nun beliebig oft fortgesetzt werden. Hier noch eine Darstellung der Stufe n = 3:

Illustration E-Kurve

Und eine Darstellung der Stufen n = 1,2,3 in einem gemeinsamen Bild:

Illustration E-Kurve

Siehe auch


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