- Eikonal
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Als Eikonal (Altgriechisch εἰκών eikon = Bild, Abbild) wird in der geometrischen Optik die Strecke eines Lichtstrahls zwischen Ausgangs- und Endpunkt bezeichnet; mittlerweile bezeichnet der Begriff meist das Bruns-Eikonal.
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Bruns-Eikonal
Die Bruns-Eikonal oder Brunssche Eikonal ist eine Funktion, welche mittels des Fermatschen Prinzips den kürzesten Weg zwischen zwei durch optische Medien getrennte Punkte beschreibt. Sie wurde vom deutschen Mathematiker Heinrich Bruns 1895 veröffentlicht.
Herleitung als Hochfrequenzapproximation der akustischen Wellengleichung
Nachfolgend soll die Eikonalgleichung als Hochfrequenzapproximation der akustischen Wellengleichung hergeleitet werden. Wir gehen also von der akustischen Wellengleichung mit dem Druck p, dem Ortsvektor , der ortsabhängigen Ausbreitungsgeschwindigkeit und konstanter Dichte aus
Gesucht ist ein zeitlich harmonischer Hochfrequenzansatz, für den eine frequenzunabhängige Amplitude und die Laufzeitfunktion angenommen werden kann. Sie hat die Form
Wegen der vektoriellen Identität ist auch
Die obige Gleichung kann demnach auch geschrieben werden als
Eine Division durch − ω2P führt dann zu
Die obige Gleichung besteht aus drei Termen mit Faktoren, die abhängig von ω sind. Für sehr hohe Frequenzen ω ist der Faktor ω − 1 des zweiten Terms dann klein und der Faktor ω − 2 des dritten Terms noch kleiner. Da gleichzeitig weder die Laufzeit ϕ noch die Amplitude P frequenzabhängig sind, sind die Produkte des zweiten und dritten Terms für sehr hohe Frequenzen sehr klein gegenüber dem ersten Term und die Gleichung vereinfacht sich auf
Die Lösung der Eikonalgleichung ϕ ordnet jedem Punkt im Ortsraum die Laufzeit der Welle zu. Linien gleicher Laufzeit lassen sich entsprechend als Wellenfronten interpretieren.
Sonstiges
Das Bruns-Eikonal wird auch in der Seismologie zur Berechnung der Ausbreitung seismischer Wellen verwendet.
Siehe auch
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