Einschritt-Verfahren

In der numerischen Mathematik ist ein Einschrittverfahren eine Methode zur näherungsweisen Lösung von Anfangswertproblemen. Im Gegensatz zu Mehrschrittverfahren werden hier zur Berechnung der Näherung an die Lösung im nächsten Zeitpunkt ausschließlich Daten des aktuellen Zeitpunkts benutzt.

Definition

Ein Verfahren bei dem die numerische Näherungslösung $u_i \approx u(t_i)$ des Anfangswertproblems:

y'(t) = f (t, y (t))

y (t 0) = y 0

mit einer Rekursionsformel der Art

u i + 1 : = u i + h Φ(t i, u i, h, f)

berechnet wird, heißt Einschrittverfahren. $Φ$ heißt dabei Inkrementfunktion. Ist die Inkrementfunktion unabhängig von der Schrittweite h so spricht man von einem expliziten Einschrittverfahren ansonsten von einem impliziten Einschrittverfahren.

Alternativ kann für die Definition auch eine Rekursionsformel der folgenden Art verwendet werden:

u i + 1 : = u i + h Φ(t i, u i, u i + 1, f)

Hier gilt dann: Ist die Inkrementfunktion unabhängig von $u i + 1$ so spricht man von einem expliziten Einschrittverfahren ansonsten von einem impliziten Einschrittverfahren.

Die wichtigste Klasse von Einschrittverfahren sind die Runge-Kutta-Verfahren.

Beispiel: Das explizite Eulerverfahren

Das explizite Eulerverfahren

u i + 1 : = u i + h f (t i, u i)

ist ein Einschrittverfahren mit der Inkrementfunktion:

Φ(t i, u i, h, f): = f (t i, u i)

Die implizite Form dieses Verfahrens ist das implizite Euler-Verfahren.

Literatur

Ernst Hairer, Gerhard Wanner: Solving Ordinary Differential Equations 1. Nonstiff Problems ISBN 3-540-56670-8

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

Frankreich [3] — Frankreich (Gesch.). I. Vom Anfang der geschichtlichen Zeit bis zum Ende der römischen Herrschaft, 486 v. Chr. Die ersten Bewohner des heutigen F s waren Celten (s.d.), von den Römern Gallier genannt; nur einzelne Theile des Landes wurden zu der… … Pierer's Universal-Lexikon
Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften) — Der Begriff der Systemtheorie wird in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen angewendet und hat in Bezug auf den Primärbegriff System keine einheitliche Bedeutung. Systeme können sich als physikalische, ökologische, ökonomische, soziale… … Deutsch Wikipedia
Armenierfrage — Der Völkermord an den Armeniern wurde Anfang des 20. Jahrhunderts begangen, als im Zusammenhang mit armenischen Unabhängigkeitsbestrebungen und dem Ersten Weltkrieg (1914–1918) eine große Zahl von Armeniern im Osmanischen Reich, aus dem die… … Deutsch Wikipedia
Armenierverfolgung — Der Völkermord an den Armeniern wurde Anfang des 20. Jahrhunderts begangen, als im Zusammenhang mit armenischen Unabhängigkeitsbestrebungen und dem Ersten Weltkrieg (1914–1918) eine große Zahl von Armeniern im Osmanischen Reich, aus dem die… … Deutsch Wikipedia
Armenischer Genozid — Der Völkermord an den Armeniern wurde Anfang des 20. Jahrhunderts begangen, als im Zusammenhang mit armenischen Unabhängigkeitsbestrebungen und dem Ersten Weltkrieg (1914–1918) eine große Zahl von Armeniern im Osmanischen Reich, aus dem die… … Deutsch Wikipedia
Armenozid — Der Völkermord an den Armeniern wurde Anfang des 20. Jahrhunderts begangen, als im Zusammenhang mit armenischen Unabhängigkeitsbestrebungen und dem Ersten Weltkrieg (1914–1918) eine große Zahl von Armeniern im Osmanischen Reich, aus dem die… … Deutsch Wikipedia
Genozid an den Armeniern — Der Völkermord an den Armeniern wurde Anfang des 20. Jahrhunderts begangen, als im Zusammenhang mit armenischen Unabhängigkeitsbestrebungen und dem Ersten Weltkrieg (1914–1918) eine große Zahl von Armeniern im Osmanischen Reich, aus dem die… … Deutsch Wikipedia
Völkermord an Armeniern — Der Völkermord an den Armeniern wurde Anfang des 20. Jahrhunderts begangen, als im Zusammenhang mit armenischen Unabhängigkeitsbestrebungen und dem Ersten Weltkrieg (1914–1918) eine große Zahl von Armeniern im Osmanischen Reich, aus dem die… … Deutsch Wikipedia
Sachsen [3] — Sachsen (Gesch.). I. Sachsen Wittenberg unter den Askaniern als Herzöge u. Kurfürsten von S. 1180–1422. Bernhard von Askanien, welcher von seinem Vater Albrecht das Land um Wittenberg erhalten hatte u., nachdem ihm nach der Auflösung des… … Pierer's Universal-Lexikon
Spanien [3] — Spanien (Gesch.). I. Vorgeschichtliche Zeit. Die Pyrenäische Halbinsel war den Griechen lange unbekannt; als man Kunde von dem Lande erhalten hatte, hieß der östliche Theil Iberia, der südöstliche od. südwestliche Theil jenseit der Säulen… … Pierer's Universal-Lexikon

Academic dictionaries and encyclopedias

Einschritt-Verfahren

Definition

Beispiel: Das explizite Eulerverfahren

Literatur

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

Share the article and excerpts

Academic dictionaries and encyclopedias

Deutsch Wikipedia

Einschritt-Verfahren

Definition

Beispiel: Das explizite Eulerverfahren

Literatur

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

Share the article and excerpts

Direct link