Einschrittverfahren

In der numerischen Mathematik ist ein Einschrittverfahren eine Methode zur näherungsweisen Lösung von Anfangswertproblemen. Im Gegensatz zu Mehrschrittverfahren werden hier zur Berechnung der Näherung an die Lösung im nächsten Zeitpunkt ausschließlich Daten des aktuellen Zeitpunkts benutzt.

Definition

Ein Verfahren bei dem die numerische Näherungslösung $u_i \approx u(t_i)$ des Anfangswertproblems:

y'(t) = f (t, y (t))

y (t 0) = y 0

mit einer Rekursionsformel der Art

u i + 1 : = u i + h Φ(t i, u i, h, f)

berechnet wird, heißt Einschrittverfahren. $Φ$ heißt dabei Inkrementfunktion. Ist die Inkrementfunktion unabhängig von der Schrittweite h so spricht man von einem expliziten Einschrittverfahren, ansonsten von einem impliziten Einschrittverfahren.

Alternativ kann für die Definition auch eine Rekursionsformel der folgenden Art verwendet werden:

u i + 1 : = u i + h Φ(t i, u i, u i + 1, f)

Hier gilt dann: Ist die Inkrementfunktion unabhängig von $u i + 1$ so spricht man von einem expliziten Einschrittverfahren, ansonsten von einem impliziten Einschrittverfahren.

Die wichtigste Klasse von Einschrittverfahren sind die Runge-Kutta-Verfahren.

Beispiel: Das explizite Eulerverfahren

Das explizite Eulerverfahren

u i + 1 : = u i + h f (t i, u i)

ist ein Einschrittverfahren mit der Inkrementfunktion:

Φ(t i, u i, h, f): = f (t i, u i)

Die implizite Form dieses Verfahrens ist das implizite Euler-Verfahren.

Literatur

Ernst Hairer, Gerhard Wanner: Solving Ordinary Differential Equations 1. Nonstiff Problems ISBN 3-540-56670-8

Kategorien:

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

Adams-Bashforth-Methode — Mehrschrittverfahren sind Verfahren zur numerischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Im Gegensatz zu Einschrittverfahren, wie etwa dem Eulerschen Polygonzugverfahren oder den Runge Kutta Verfahren, nutzen Mehrschrittverfahren die… … Deutsch Wikipedia
Adams-Bashforth-Verfahren — Mehrschrittverfahren sind Verfahren zur numerischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Im Gegensatz zu Einschrittverfahren, wie etwa dem Eulerschen Polygonzugverfahren oder den Runge Kutta Verfahren, nutzen Mehrschrittverfahren die… … Deutsch Wikipedia
Adams-Moulton-Methode — Mehrschrittverfahren sind Verfahren zur numerischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Im Gegensatz zu Einschrittverfahren, wie etwa dem Eulerschen Polygonzugverfahren oder den Runge Kutta Verfahren, nutzen Mehrschrittverfahren die… … Deutsch Wikipedia
Adams-Moulton-Verfahren — Mehrschrittverfahren sind Verfahren zur numerischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Im Gegensatz zu Einschrittverfahren, wie etwa dem Eulerschen Polygonzugverfahren oder den Runge Kutta Verfahren, nutzen Mehrschrittverfahren die… … Deutsch Wikipedia
Einschritt-Verfahren — In der numerischen Mathematik ist ein Einschrittverfahren eine Methode zur näherungsweisen Lösung von Anfangswertproblemen. Im Gegensatz zu Mehrschrittverfahren werden hier zur Berechnung der Näherung an die Lösung im nächsten Zeitpunkt… … Deutsch Wikipedia
Inkrementfunktion — In der numerischen Mathematik ist ein Einschrittverfahren eine Methode zur näherungsweisen Lösung von Anfangswertproblemen. Im Gegensatz zu Mehrschrittverfahren werden hier zur Berechnung der Näherung an die Lösung im nächsten Zeitpunkt… … Deutsch Wikipedia
Mehrschritt-Verfahren — Mehrschrittverfahren sind Verfahren zur numerischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Im Gegensatz zu Einschrittverfahren, wie etwa dem Eulerschen Polygonzugverfahren oder den Runge Kutta Verfahren, nutzen Mehrschrittverfahren die… … Deutsch Wikipedia
Prädiktor-Korrektor-Methode — Mehrschrittverfahren sind Verfahren zur numerischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Im Gegensatz zu Einschrittverfahren, wie etwa dem Eulerschen Polygonzugverfahren oder den Runge Kutta Verfahren, nutzen Mehrschrittverfahren die… … Deutsch Wikipedia
Prädiktor-Korrektor-Verfahren — Mehrschrittverfahren sind Verfahren zur numerischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Im Gegensatz zu Einschrittverfahren, wie etwa dem Eulerschen Polygonzugverfahren oder den Runge Kutta Verfahren, nutzen Mehrschrittverfahren die… … Deutsch Wikipedia
Butcher-Tableau — Einige Runge Kutta Verfahren im Vergleich. Die s stufigen Runge Kutta Verfahren (nach Carl Runge und Martin Wilhelm Kutta) sind Einschrittverfahren zur näherungsweisen Lösung von Anfangswertproblemen in der numerischen Mathematik. Wenn vom Runge… … Deutsch Wikipedia

Academic dictionaries and encyclopedias

Einschrittverfahren

Definition

Beispiel: Das explizite Eulerverfahren

Literatur

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

Share the article and excerpts

Academic dictionaries and encyclopedias

Deutsch Wikipedia

Einschrittverfahren

Definition

Beispiel: Das explizite Eulerverfahren

Literatur

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

Share the article and excerpts

Direct link