Inkrementfunktion

In der numerischen Mathematik ist ein Einschrittverfahren eine Methode zur näherungsweisen Lösung von Anfangswertproblemen. Im Gegensatz zu Mehrschrittverfahren werden hier zur Berechnung der Näherung an die Lösung im nächsten Zeitpunkt ausschließlich Daten des aktuellen Zeitpunkts benutzt.

Definition

Ein Verfahren bei dem die numerische Näherungslösung $u_i \approx u(t_i)$ des Anfangswertproblems:

y'(t) = f(t,y(t)), y(t₀) = y₀

mit einer Rekursionsformel der Art

u_{i + 1}: = u_i + hΦ(t_i,u_i,h,f)

berechnet wird, heißt Einschrittverfahren. Φ heißt dabei Inkrementfunktion. Ist die Inkrementfunktion unabhängig von der Schrittweite h so spricht man von einem expliziten Einschrittverfahren ansonsten von einem impliziten Einschrittverfahren.

Alternativ kann für die Definition auch eine Rekursionsformel der folgenden Art verwendet werden:

u_{i + 1}: = u_i + hΦ(t_i,u_i,u_{i + 1},f)

Hier gilt dann: Ist die Inkrementfunktion unabhängig von u_{i + 1} so spricht man von einem expliziten Einschrittverfahren ansonsten von einem impliziten Einschrittverfahren.

Die wichtigste Klasse von Einschrittverfahren sind die Runge-Kutta-Verfahren.

Beispiel: Das explizite Eulerverfahren

Das explizite Eulerverfahren

u_{i + 1}: = u_i + hf(t_i,u_i)

ist ein Einschrittverfahren mit der Inkrementfunktion:

Φ(t_i,u_i,h,f): = f(t_i,u_i)

Die implizite Form dieses Verfahrens ist das implizite Euler-Verfahren.

Literatur

• Ernst Hairer, Gerhard Wanner: Solving Ordinary Differential Equations 1. Nonstiff Problems ISBN 3-540-56670-8