Einstein-Koeffizienten

Die Einsteinkoeffizienten werden zur Berechnung der spontanen und stimulierten Emission in der statistischen Physik verwendet und finden in der Laserphysik Anwendung. Sie wurden 1916 von Albert Einstein eingeführt.

Um zu berechnen, wie viele Teilchen pro Zeit in einem 2-Niveausystem von einem Energiezustand N₂ in den energetisch tieferen Zustand N₁ „fallen“, benutzt man folgende Formel:

$\frac{dN_1}{dt} = - N_1 \cdot B_{12} \cdot u + N_2 \cdot B_{21} \cdot u + N_2 \cdot A_{21}$

wobei

• B₁₂, B₂₁ und A₂₁ die Einsteinkoeffizienten sind und
• u  die Strahlungsdichte ist.

Der 1. Term steht für die Absorption: $N_1 \rightarrow N_2$ (z. B. durch Wärmestrahlung).

Der 2. Term steht für die stimulierte Emission: $N_2 \rightarrow N_1$ (z. B. durch Wärmestrahlung).

Der 3. Term steht für den spontanen Zerfall: $N_2 \rightarrow N_1$, der durch die Emission hergeleitet wird.

Um den gegenläufigen Prozess zu berechnen, findet lediglich ein Vorzeichenwechsel aller 3 Terme statt:

$\frac{dN_2}{dt} = + N_1 \cdot B_{12} \cdot u - N_2 \cdot B_{21} \cdot u - N_2 \cdot A_{21}$

Im thermodynamischen Gleichgewicht sind die „Sprünge“ $N_1 \rightarrow N_2 = N_2 \rightarrow N_1$.

Daraus folgt, dass $\frac{dN_1}{dt} = \frac{dN_2}{dt} = 0$ ist.

Zwischen den 3 Einsteinkoeffizienten besteht folgende Beziehung, wenn kein Zustand entartet ist:

$B_{12} = B_{21} = A_{21} \cdot \frac{c^3}{8 \pi h \nu^3} = A_{21} \cdot \frac{\lambda^3}{8 \pi h}$

Sind Zustände entartet, so ist zusätzlich das Gewicht g_i der Entartung zu berücksichtigen:

$\frac{g_1}{g_2} \cdot B_{12} = B_{21} = A_{21} \cdot \frac{c^3}{8 \pi h \nu^3} = A_{21} \cdot \frac{\lambda^3}{8 \pi h}$

Die Einsteinkoeffizienten sind temperaturunabhängig. Der Einsteinkoeffizient A₂₁ ist eine Eigenschaft des Übergangs und stoffspezifisch.

Die Temperaturabhängigkeit der Energieverteilung der Wärmestrahlung ist eine Folge der unterschiedlichen Besetzungswahrscheinlichkeiten N₁ und N₂ in Abhängigkeit von der Temperatur, die in der Regel durch die Boltzmann-Verteilung beschrieben wird.

Literatur

• A. Einstein: Zur Quantentheorie der Strahlung. Physikalische Zeitschrift 18 (1917) 121-128; Zuerst abgedruckt in den Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich 18 (1916)

Siehe auch

Besetzungsinversion