Embree-Trefethen-Konstante

Die Embree-Trefethen-Konstante ist eine mathematische Konstante. Sie ist ein Grenzkoeffizient in der Zahlentheorie und wird mit β* bezeichnet.

Für ein festes reelles β betrachte man die Rekursion

x_{n + 1} = x_n ± β x_{n − 1}

wobei das Vorzeichen in der Summe unabhängig für jedes n mit gleicher Wahrscheinlichkeit als '+' oder '−' gewählt wird.

Für β = 1 erhält man die zufällige Fibonacci-Folge.

Es kann gezeigt werden, dass für beliebiges β der Grenzwert

$\sigma(\beta) = \lim_{n \to \infty} \left(|x_n|^{\frac{1}{n}} \right)$

fast sicher existiert. Mit anderen Worten: Die Folge verhält sich mit Wahrscheinlichkeit 1 asymptotisch exponentiell mit Basis σ(β).

Es gilt

σ < 1 für 0 < β < β* ≈ 0.70258,

also fällt die Folge der x_n fast sicher asymptotisch exponentiell, und

σ > 1 für β > β*

also wachsen die Folgenglieder fast sicher asymptotisch exponentiell.

Spezielle Werte von σ sind:

• σ(1) = 1,13198 82487 943 … (Viswanath-Konstante) und
• σ(β*) = 1.

Literatur

• Mark Embree, Lloyd N. Trefethen: Growth and decay of random Fibonacci sequences, Proceedings of the Royal Society A 455, Juli 1999, S. 2471–2485 (englisch)