Mathematische Konstanten

Eine mathematische Konstante ist eine fest definierte spezielle reelle oder komplexe Zahl, die sich auf natürliche Weise in der Mathematik ergibt. Anders als physikalische Konstanten werden mathematische Konstanten unabhängig von jedem physikalischen Maß definiert. Viele spezielle Zahlen haben eine besondere Bedeutung in der Mathematik und treten in vielen unterschiedlichen Kontexten auf. Beispielsweise gibt es bis auf einen komplexen Faktor genau eine holomorphe Funktion f(z) mit f'(z) = f(z). Folglich ist f(1) / f(0) eine mathematische Konstante (die sog. eulersche Zahl e). Weiter ist f(z) eine periodische Funktion, und der Absolutwert ihrer Periode ist eine andere mathematische Konstante, 2π. Mathematische Konstanten sind Elemente des Körpers der reellen oder komplexen Zahlen und lassen sich in vielen Fällen numerisch beliebig genau berechnen. Jedoch gibt es auch einige mathematische Konstanten, für die nur sehr grobe Näherungen bekannt sind, wie z. B. die brunsche Konstante B₂ = 1,90216058....

Das Gebiet der mathematischen Konstanten wird der Zahlentheorie zugerechnet und ist seit Archimedes bis in die heutige Zeit Forschungsgegenstand. Von den meisten mathematischen Konstanten ist trotz großer Anstrengungen ungeklärt, ob sie rational oder irrational bzw. algebraisch oder transzendent sind. Eine besonders einfache Klasse bilden die polylogarithmischen Konstanten, zu denen die Logarithmen und die Werte der Riemannschen Zetafunktion an den positiven ganzzahligen Argumentstellen gehören. Für einen Teil dieser Klasse sind BBP-Reihen bekannt.

Einige wichtige mathematische Konstanten:

Symbol	Dezimaldarstellung (OEIS-Link)	Name	Zahlentyp	Erstmals beschrieben	Zahl der bekannten Nachkommastellen	Anwendungsgebiete	Definition oder Eigenschaften
0	= 0.	Null	ganz	um 700 v. Chr. bei den Babyloniern	(keine vorhanden)	Mathematik	Neutrales Element der Addition der reellen Zahlen
1	= 1.	Eins	ganz		(keine vorhanden)	Mathematik	Neutrales Element der Multiplikation der reellen Zahlen
π	= 3,14159 26535 89793 23846… (A000796)	Kreiszahl, Archimedes-Konstante, ludolphsche Zahl	transzendent	2000 v. Chr.	1241,1 Milliarden	Mathematik, insbes. Analysis und Geometrie, Technik	Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser eines Kreises
i	= i.	Imaginäre Einheit	algebraisch, komplex	um 1540	(keine vorhanden)	Mathematik, insbes. Funktionentheorie	Eine Lösung der Gleichung z2 = − 1.
e	= 2,71828 18284 59045 23536… (A001113)	Eulersche Zahl	transzendent	1618	100 Milliarden	Mathematik, insbes. Analysis, Technik	Basis des natürlichen Logarithmus
√2	= 1,41421 35623 73095 04880… (A002193)	Quadratwurzel von 2, Konstante von Pythagoras	irrational, algebraisch	800 v. Chr.	200 Milliarden	Geometrie, Technik	Verhältnis der Diagonalen zur Kantenlänge eines Quadrates
√3	= 1,73205 08075 68877 29352… (A002194)	Quadratwurzel von 3, Konstante von Theodorus	irrational, algebraisch	800 v. Chr.	mind. 100.000	Geometrie, Technik	Verhältnis der räumlichen Diagonalen zur Kantenlänge eines Würfels
γ	= 0,57721 56649 01532 86060… (A001620)	Euler-Mascheroni-Konstante		1735	15,5 Milliarden	Zahlentheorie	Grenzwert der Differenz von harmonischer Reihe und ln(n)
φ, τ	= 1,61803 39887 49894 84820… (A001622)	Goldener Schnitt, $(1+\sqrt{5}) / 2$	irrational, algebraisch	250 v. Chr.	100 Milliarden	Geometrie	Größenverhältnis, das sich in der Natur, der belebten wie unbelebten, finden lässt
ϖ	= 2,62205 75542 92119 81046… (A062539)	Lemniskatische Konstante	transzendent			Zahlentheorie	Umfang der Lemniskate
β*	≈ 0,70258 (A118288)	Embree-Trefethen-Konstante				Zahlentheorie	Beschriftete Theorie des Schwellenwertes
δ	= 4,66920 16091 02990 67185… (A006890)	1. Feigenbaumkonstante		1975		Chaostheorie	Übergang ins Chaos
α	= 2,50290 78750 95892 82228… (A006891)	2. Feigenbaumkonstante				Chaostheorie	Übergang ins Chaos
C2	= 0,66016 18158 46869 57392… (A005597)	Primzahlzwillingskonstante			5.020	Zahlentheorie
M1	= 0,26149 72128 47642 78375… (A077761)	Meissel-Mertens-Konstante		1866 1874	8.010	Zahlentheorie
B2	≈ 1,90216 05831 04 (A065421)	Brunsche Konstante für Primzahlzwillinge		1919	10	Zahlentheorie	Grenzwert der Summe der Kehrwerte aller Primzahlzwillinge
B4	≈ 0,87058 83800	Brunsche Konstante für Primzahlvierlinge				Zahlentheorie	Grenzwert der Summe der Kehrwerte aller Primzahlvierlinge
Λ	> −2,7 × 10-9	de Bruijn-Newman-Konstante		1950(?)		Zahlentheorie
G	= 0,91596 55941 77219 01505… (A006752)	Catalansche Konstante			15,5 Milliarden	Kombinatorik
K	= 0,76422 36535 89220 66299… (A064533)	Landau-Ramanujan-Konstante			30.010	Zahlentheorie
K	≈ 1,13198 824 (A078416)	Viswanath-Konstante			8	Zahlentheorie
BL	≈ 1,08366	Legendre-Konstante				Zahlentheorie
μ	= 1,45136 92348 83381 05028… (A070769)	Ramanujan-Soldner-Konstante			75.500	Zahlentheorie	Nullstelle des Integrallogarithmus
EB	= 1,60669 51524 15291 76378… (A065442)	Erdős–Borwein-Konstante	irrational			Zahlentheorie
β	= 0,28016 94990 23869 13303… (A073001)	Bernstein-Konstante				Analysis
λ	= 0,30366 30028 98732 65859… (A038517)	Gauß-Kuzmin-Wirsing-Konstante		1974	468	Kombinatorik
D(1)	≈ 0,35323 63719 (A145578)	Hafner-Sarnak-McCurley-Konstante		1993		Zahlentheorie
λ, μ	= 0,62432 99885 43550 87099… (A084945)	Golomb-Dickman-Konstante		1930 1964		Kombinatorik, Zahlentheorie
	= 0.64341 05462 88338 02618… (A118227)	Cahen-Konstante
	= 0,66274 34193 49181 58097… (A033259)	Grenzwert von Laplace
	= 0,80939 40205 40639 13071… (A085291)	Alladi-Grinstead-Konstante				Zahlentheorie
Λ	≈ 1,09868 58055 25187 01 (A086053)	Lengyel-Konstante		1992		Kombinatorik
	= 1,18656 91104 15625 45282… (A100199)	Chintschin-Lévy-Konstante				Zahlentheorie
	= 1,20205 69031 59594 28539… (A002117)	Apéry-Konstante	irrational		15,5 Milliarden		Wert der riemannschen Zetafunktion ζ an der Stelle 3
θ	= 1,30637 78838 63080 69046… (A051021)	Mills-Konstante		1947		Zahlentheorie
	= 1,45607 49485 82689 67139… (A072508)	Backhouse-Konstante
	= 1,46707 80794 33975 47289… (A086237)	Porter-Konstante		1975		Zahlentheorie
	= 1,53960 07178 39002 03869… (A118273)	Liebs Eiswürfelkonstante, (4 / 3)3 / 2	irrational, algebraisch	1967		Kombinatorik
	= 1,70521 11401 05367 76428… (A033150)	Niven-Konstante		1969		Zahlentheorie
	= 2,58498 17595 79253 21706… (A062089)	Sierpiński-Konstante
	= 2,68545 20010 65306 44530… (A002210)	Chintschin-Konstante		1934	110.000	Zahlentheorie
F	= 2,80777 02420 28519 36522… (A058655)	Fransén-Robinson-Konstante			1.025	Analysis
A	= 1,28242 71291 00622 63687… (A074962)	Konstante von Glaisher-Kinkelin		1878[1]	20.000	Analysis, Analytische Zahlentheorie
	≈ 0,00787 49969 97812 3844 (A100264)	Chaitinsche Konstante	transzendent		64 bit	Theoretische Informatik	Wahrscheinlichkeit, mit der eine universelle Turingmaschine bei beliebiger Eingabe anhält
G	= 1,01494 16064 09653 6250... (A143298)	Gieseking-Konstante					[2]
L	≈ 0,5	Landau-Konstante			1	Analysis

Siehe auch

• Physikalische Konstante
• Liste besonderer Zahlen

Einzelnachweise

1. ↑ Eric W. Weisstein: Konstante von Glaisher-Kinkelin auf MathWorld (englisch)
2. ↑ Eric W. Weisstein: Gieseking's Constant auf MathWorld (englisch)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Konstanten auf MathWorld (englisch)
• Simon Plouffe's inverter (englisch; Eingabe eines Zahlenwerts und Suche nach der Konstanten)
• Ursprung der Bezeichnungen für die mathematischen Konstanten (englisch)
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Constants and Records of Computation auf Numbers, constants and computation, 16. August 2008 (englisch)