Entropiezahl

Entropiezahlen sind in der Funktionalanalysis Kennzahlen von stetigen linearen Operatoren. Das Konzept basiert auf dem Begriff der Epsilon-Entropie.

Definition

Äußere Entropiezahlen

Seien X und Y Banachräume und T ein linearer stetiger Operator $T \in L(X, Y )$, so nennt man

$\varepsilon_n(T) := \inf \left\{\varepsilon > 0|\exists x_1, ..., x_n \in Y \mbox{mit }T(B_X)\subseteq\bigcup_{i=1}^n{{x_i} + \varepsilon B_Y }\right\}$

n-te Entropiezahl von T, wobei B_X bzw. B_Y die abgeschlossenen Einheitskugeln in X bzw. Y sind. Wir nennen

$e_n := \varepsilon_{2^n-1}(T)$

die n-te dyadische Entropiezahl von T.

Beim Übergang von den “normalen“ Entropiezahlen zu den dyadischen gehen bei der asymptotischen Betrachtung keine wesentlichen Informationen verloren. Darum werden die dyadischen Entropiezahlen oft nur Entropiezahlen genannt.

Innere Entropiezahlen

Seien X und Y Banachräume und T ein linearer stetiger Operator $T \in L(X, Y )$, so nennt man

$\varphi_n(T):=\sup\left\{\rho>0: \exists\, p>n\mbox{ mit }y_1,...,y_p\in T(B_X),\, \left\|y_i-y_j\right\|\geq2\rho\,\forall i\neq j\right\}$

innere Entropiezahl von T.

$f_n(T):=\varphi_{2^n-1}(T)$

wird dyadische innere Entropiezahl von T genannt.

Zusammenhang von inneren zu äußeren Entropiezahlen

Wie Carl und Stephani in ihrem Buch Entropy, compactness and the approximation of operators gezeigt haben, besteht die Beziehung

$\varphi_n(T)\leq\epsilon_n(T)\leq2\varphi_n(T)$

weshalb man meist nur e_n(T) betrachtet.

Bemerkung

Wenn man auf die Definition der Entropiezahlen sieht, erkennt man folgenden elementaren Zusammenhang:

T ist kompakt $\Leftrightarrow e_n(T)\rightarrow0.$

Auf Grund dieser Tatsache kann man die Entropiezahlen nutzen um dem Operator einen "Grad der Kompaktheit" zuzuordnen, d.h. je schneller die Entropiezahlen gegen 0 fallen, umso kompakter ist der Operator.

Literatur

• Hermann König: Eigenvalue Distribution of Compact Operators, Birkhäuser, 1985 (enthält eine gute Einführung in die Theorie der s-Zahlen)
• David Eric Edmunds & Hans Triebel: Function Spaces, Entropy Numbers, Differential Operators, Cambridge University Press, 1994
• Bernd Carl & Irmtraud Stephani Entropy, compactness and the approximation of operators, Cambridge University Press, 1990