Epizykloiden

Wenn ein Kreis vom Radius a außen auf einem Kreis vom Radius b abrollt, beschreibt ein Punkt auf dem Kreisumfang eine Epizykloide, ein Spezialfall einer Zykloide.

Auf diese Weise lassen sich mandalaähnliche Figuren zeichnen, die auch Blumen ähneln.

Für die mathematische Beschreibung einer Epizykloide braucht man - da es sich um Winkeländerungen handelt - trigonometrische Ausdrücke.

Die Gleichung einer Epizykloide lautet deshalb:

$\begin{matrix} x &=& (a + b) \cdot \cos(t) - a \cdot \cos\left(\left( 1 + \frac{b}{a} \right)t\right)\\ y &=& (a + b) \cdot \sin(t) - a \cdot \sin\left(\left( 1 + \frac{b}{a} \right)t\right) \end{matrix}$

Dabei ist:

• t die Zeit, die beim Zeichnen abläuft, wobei sich der Winkel ändert und deshalb auch die sin- und cos-Werte.
• a ist der Radius von dem Kreis, der außen herumfährt.
• b ist der Radius des inneren Kreises.
• x und y sind die Koordinaten, von dem Punkt, an dem gerade gezeichnet wird.

Wenn $\tfrac{b}{a}$ eine ganze Zahl ist, erhalten wir nach einer Umdrehung eine geschlossene Kurve. Wir setzen $m = 1 + \tfrac{b}{a} = \tfrac{OM}{a}$. Dann können wir die Gleichung einfacher schreiben:

$\begin{matrix} x &=& m \cdot a \cdot \cos(t) - a \cdot \cos(m \cdot t)\\ y &=& m \cdot a \cdot \sin(t) - a \cdot \sin(m \cdot t) \end{matrix}$

Der Radius R (oben die Zahl b) des folgenden Schaubildes ist der Radius des großen inneren Kreises. Der Radius des kleinen Kreises ist r (oben die Zahl a). Links ergibt der $\tfrac{R}{r}$ eine ganze Zahl, deswegen überlappen sich die „Blütenblätter“ links nicht und die Kurve ist geschlossen. Rechts überlappen sich aber die „Blütenblätter“, d. h. die Kurve ist nicht geschlossen da $\tfrac{R}{r}$ = 2,5. $\tfrac{R}{r}$ wird auch Ordnung der Epizykloide genannt:

Wenn man den Punkt sucht, der dem gerade gezeichneten gegenüberliegt und $\tfrac{b}{a}$ eine ganze Zahl ist, so kann man die Gleichung in einer alternativen Form angeben:

$\begin{matrix} x &=& m \cdot a \cdot \cos(t) + a \cdot \cos(m \cdot t) \\ y &=& m \cdot a \cdot \sin(t) + a \cdot \sin(m \cdot t) \end{matrix}$

Für die Länge der Epizykloide und den Inhalt der umschlossenen Fläche erhalten wir die Formeln

$\begin{matrix} s &=& 8 \cdot m \cdot a \\ A &=& m \cdot (m + 1) \cdot a^2\cdot \pi \end{matrix}$

Der Tangentialvektor steht auch hier normal auf den Vektor TP. Die Evolute hat die Gleichung

$\begin{matrix} x &=& \frac{m-1}{m+1} \cdot \left(m \cdot a \cdot \cos(t) + a \cdot \cos(m \cdot t \right))\\ y &=& \frac{m-1}{m+1} \cdot \left(m \cdot a \cdot \sin(t) + a \cdot \sin(m \cdot t \right)) \end{matrix}$

Das ist die Gleichung der Epizykloide in der alternativen Form, um den Faktor $\tfrac{m-1}{m+1}$ verkleinert. Die Evolute ist also eine verkleinerte, gedrehte Kopie der ursprünglichen Kurve.

(Wenn das Verhältnis $\frac{b}{a}$ eine rationale Zahl ist, schließt sich die Kurve erst nach mehreren Umdrehungen. Ist es irrational, schließt sie sich nie.)

Eine Epizykloide entsteht auch durch die Zusammensetzung von zwei Rotationen, die im selben Drehsinn erfolgen.

Spezielle Epizykloiden

Für $b = a\ (m = 2)$ ergibt sich eine Kardioide (Herzkurve). Für Umfang und Fläche erhält man:

$s = 16a,\ A = 6a^2\pi$

Diese Kurve kann man auch anders erhalten, und zwar als Kreiskonchoide (Pascalsche Schnecke): Man zeichnet von einem Punkt auf dem Kreisumfang eine Sehne und verlängert sie um den Kreisdurchmesser. Wenn die Sehne sich dreht, beschreibt der Endpunkt der Verlängerung eine Kardioide.

Wenn die Spitze der Kardioide im Koordinatenursprung liegt, lautet die Gleichung in Polar- bzw. kartesischen Koordinaten:

$\begin{matrix} r &=& 2a \cdot (1 - \cos(j)) \\ (x + y + 2ax) &=& 4a \cdot (x + y) \end{matrix}$

Nephroide

Ist $b = 2a\ (m = 3)$, so erhält man eine Nephroide (Nierenkurve). Sie hat die Maße

$\begin{matrix} s &=& 24a &=& 12b \\ A &=& 12a^2\pi &=& 3b^2\pi \end{matrix}$

Weblinks

• MacTutor, Famous Curves Index
• Xah Lee
• Betrachtung von Epizykloden