Pascalsche Schnecke

Die pascalsche Schnecke, auch pascalsche Limaçon, ist eine spezielle ebene Kurve, genauer gesagt eine algebraische Kurve 4. Ordnung. Die Kardioide stellt einen Sonderfall der pascalschen Schnecke dar.

Sie ist benannt nach dem französischen Juristen Étienne Pascal, dem Vater des Mathematikers, Physikers und Philosophen Blaise Pascal, obwohl Albrecht Dürer sie bereits ein halbes Jahrhundert vorher in seinem Buch Underweysung der Messung (S. 40) erstmals gezeichnet und sie wegen der Hilfslinien seiner Konstruktion "Spinnenlinie" genannt hat.

Gleichungen der pascalschen Schnecke

• Kartesische Koordinaten: $(x^2 + y^2 - a x)^2 - b^2 (x^2 + y^2) \, = \, 0$

• Polarkoordinaten: r = acos φ + b

• Parametergleichung: $x = a (\cos t)^2 + b \cos t; \qquad y = a \cos t \sin t + b \sin t$

Eigenschaften der pascalschen Schnecke

• Die folgende geometrische Eigenschaft kann zur Definition der Kurve herangezogen werden: Gegeben seien ein Kreis mit Durchmesser a, ein Punkt A auf diesem Kreis und eine positive reelle Zahl b. Dann liegen für einen beliebigen Punkt B des Kreises die beiden Punkte P und P', die auf der Geraden AB liegen und von B die Entfernung b haben, auf der pascalschen Schnecke. Es handelt sich also um einen Spezialfall der allgemeinen Konchoide.

• Die von der pascalschen Schnecke eingeschlossene Fläche hat den Flächeninhalt $\tfrac{1}{2} a^2 \pi + b^2 \pi$. Dabei ist zu beachten, dass für b < a der Flächeninhalt der inneren Schleife doppelt gezählt wird, da die Punkte im Inneren dieser Schleife von der Kurve zweimal umlaufen werden.

• Die Bogenlänge der Pascalschen Schnecken beträgt $\int_{0}^{2\pi}\mathrm{\sqrt{a^2 + 2abcos{\varphi} + b^2}}\, \mathrm{d}\varphi$

• Für Werte b < a entsteht eine Schleife, für b < 2a zumindest noch eine Einbuchtung.

• Für Werte b > 7a nähert sich der Flächeninhalt der Schnecke dem eines entsprechenden Kreises (mit Radius r = b und Mittelpunkt M(1 | 0) ) auf weniger als 1% an.

Weblinks

• Dürers Konstruktion der pascalschen Schnecke in seiner Underweysung der Messung (S. 40) (PDF-Datei; 197 kB)