Erneuerungstheorie

Die Erneuerungstheorie (engl. renewal theory) ist ein Spezialgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie und befasst sich mit Prozessen, die sich nach jedem Erreichen des Zustands 0 wieder so verhalten wie beim Start des Experiments. Rekurrente Ereignisse spielen hier eine zentrale Rolle. Das auszuwertende Ereignis ist dabei die Anzahl der Schritte, die benötigt wird, um zum Ausgangspunkt zurückzukehren.

Beispiel

Man betrachte ein Objekt, das sich im Ursprung der Zahlengerade, also bei der Zahl 0 befindet. Dieses Objekt bewege sich nun in jedem Schritt mit gleicher Wahrscheinlichkeit um eins nach links oder nach rechts. Dieses Experiment wird auch Random Walk genannt und lässt sich auf beliebige Dimensionen verallgemeinern. So wird für den zweidimensionalen Fall aus der Zahlengerade ein Gitter, auf dem sich das Objekt bewegen kann. Mit steigender Dimensionalität nimmt die Wahrscheinlichkeit, zum Ursprung zurückzukommen, ab. Die Anzahl der Schritte ist binomialverteilt, und die Wahrscheinlichkeit berechnet sich wie folgt: Falls die Anzahl der Schritte n ungerade ist, kann das Objekt nicht im Ursprung sein, die Wahrscheinlichkeit ist also gleich null. Für n gerade muss genau die Hälfte aller Schritte nach links und die andere Hälfte nach rechts erfolgt sein. Für jede dieser Möglichkeiten ist die Wahrscheinlichkeit 1 / 2 = 2 ^{− 1}, und bei genau ${ n\choose n/2 }$ Möglichkeiten gilt für den Schritt n:

$Pr[H_{n}] = { n\choose n/2}\cdot 2^{-n}$

Für den allgemeinen Fall mit beliebiger Dimension d gilt:

$Pr[H_{n}] = \left[{ n\choose n/2}\cdot 2^{-n}\right]^{d}$