Eulersche Turbinengleichung

Eine Turbine (lat. turbare, drehen) („Kreiselmaschine“) ist eine Fluidenergiemaschine, die die kinetische Energie von Fluiden (Flüssigkeiten und Gase) in Dreh- oder Rotationsenergie umwandelt; z. B. wandelt eine Wasserturbine die Strömungsenergie eines Baches oder Flusses in Drehenergie an ihrer Achse um, so dass man einen Generator betreiben kann. Turbinen sind damit zu den Strömungsmaschinen zu zählen. Sie gehören zu den größten von Menschen entworfenen Maschinen überhaupt; ihre mechanisch nutzbare Leistung kann bis zu 1,5 Gigawatt (2 Millionen PS) betragen. Umgangssprachlich wird der Begriff „Turbine“ - fälschlich - auch für Gasturbinen und insbesondere Fluggasturbinen/Strahltriebwerke verwendet.

Dem Fluidstrom wird durch die möglichst wirbelfreie laminare Umströmung der Turbinenschaufeln ein Teil seines Drehimpulses entzogen, der auf die Laufschaufeln der Turbine übergeht. Die auf der Turbinenwelle montierten Laufschaufeln werden dadurch in Drehung versetzt, die nutzbare Leistung wird an eine angekuppelte Arbeitsmaschine, wie beispielsweise an einen Generator, abgegeben. Ein konstantes Drehmoment der Arbeitsmaschine sorgt für eine gleichmäßige Drehzahl der Turbine, ansonsten muss die Drehzahl über einen Regler konstant gehalten werden.

Grundlagen

Anwendung der Eulerschen Turbinengleichung auf axialdurchströmte Maschinen

Perspektivische Darstellung der physikalischen Größen zur Eulerschen Turbinengleichung

Die theoretischen Fundamente zur Berechnung eines beliebigen Turbinentyps wurden bereits im 18. Jahrhundert durch Leonhard Euler gelegt. Die Grundlage der Eulerschen Turbinengleichung findet sich in der Unveränderlichkeit des Drehimpulses eines Stoffstromes in einem geschlossenen System:

${D} = {m}\cdot {v}\cdot {r}$

Die Veränderung des Impulses innerhalb eines Teilsystemes (hier: die Turbinenschaufeln) erzeugen ein Drehmoment um das Zentrum der Turbine:

$M = \frac {dD} {dt} =\frac {m} {dt}\cdot {r}\cdot {dc}$

Sinnvollerweise können nur Anteile der Strömungsgeschwindigkeit des Fluides einen Anteil zum Drehmoment liefern, die senkrecht im Sinne des Hebelgesetzes zum Turbinendrehpunkt stehen. Solche Anteile werden mit dem Index u gekennzeichnet.

Eine Integration der Formel liefert folgendes Ergebnis:

${\int_{t_1}^{t_2} M\cdot dt} = m\cdot r\cdot {\int_{1}^{2} dc_u}$

Aus dem Zusammenhang zwischen Drehmoment, der Drehzahl n und der Leistung P errechnet sich:

${P} = M \cdot 2 \cdot\pi \cdot {n} = M \cdot \omega$

${P} = {m\cdot r \cdot \omega \cdot dc_u \over dt} = {m\cdot u \cdot dc_u\over dt}$

mit u als der größtmöglichen Umfangsgeschwindigkeit in einem betrachteten Querschnitt.

Eine erneute Integration liefert

${P} = \dot m \cdot {\int_{1}^{2} u \cdot dc_u}$ bzw.

${{P}\over \dot m} = {\int_{1}^{2} u \cdot dc_u} = \mathbf Y$

Die letzte Gleichung wird Eulersche Turbinengleichung genannt. Ihre Lösung ergibt sich zu:

$Y = u_2 \cdot c_{u2} - u_1 \cdot c_{u1}$

Y ist hier die spezifische Schaufelarbeit, _u die Umfangsgeschwindigkeit der sich drehenden Schaufelspitze am Eintritt (Index 1) und Austritt (Index 2), desgleichen die nutzbare Fluidgeschwindigkeit c_u am Ein- und Austritt.

In der Wirklichkeit muss für die überschlägige Turbinenauslegung auch noch mit den Reibungsverlusten des strömenden Fluides gerechnet werden.

Technische Verwirklichung

Montage einer Dampfturbine

In der technischen Realisierung werden, um Unwuchten zu vermeiden, mindestens zwei diametral gegenüberliegende Schaufeln benötigt (Ausnahme: Monopteros, eine einflügelige Windkraftanlage, bei der die Unwucht mit Hilfe eines Gegengewichts ausgeglichen wird). In der Regel sind jedoch noch mehr Schaufeln auf der Achse montiert. Sie bilden das sogenannte Schaufelrad oder Laufrad. Die Anordnung der Schaufeln einer Turbine nennt man auch Beschaufelung. Die Schaufeln sind nicht flach, sondern ähnlich einer Flugzeugtragfläche leicht gekrümmt profiliert. Sind Turbinen in einem durchströmten Gehäuse montiert, wird vor der eigentlichen Turbine (dem Laufrad) ein am Gehäuseinneren festmontiertes Leitrad angebracht. Diese Leitschaufeln ragen vom Gehäuse in das strömende Medium hinein und versetzen es in einen Drall, was den Wirkungsgrad der Turbine steigert. Leitrad und Laufrad zusammen bezeichnet man als Stufe. Oft sind mehrere solcher Stufen hintereinandergeschaltet. Freistehende Turbinen (z. B. bei Windkraftanlagen) verfügen in der Regel nicht über ein solches Leitrad und haben daher auch immer nur eine Stufe. Bei der mit Wasserdampf angetriebenen Ljungströmturbine drehen aufeinanderfolgende Laufschaufeln in entgegengesetzte Richtung, deshalb brauchen sie keine Leitbeschaufelung.

Turbinen können direkt mit Generatoren gekoppelt sein, die die mechanische Rotationsenergie in elektrische Energie umwandeln. Eine solche Zusammenstellung heißt Turbosatz oder Turbogenerator. Letztlich wird so die mechanische Strömungsenergie von Wasserkraft, Dampf oder Luft in elektrische Energie überführt.

Wird eine Turbine von einem Verbrennungssystem für Gas oder Öl angetrieben, spricht man von einer Gasturbine. Diese findet zum Beispiel als Antriebsaggregat von Flugzeugen, Schiffen oder in Gas- und Ölkraftwerken Verwendung. Das umgekehrte Wirkungsprinzip der Turbine, die Umwandlung von Rotationsenergie in Strömungsenergie, findet beim Verdichter bzw. der Pumpe Anwendung.

Entwickelt wurde die Turbine aus dem technischen Wissen der Menschheit um Wasserrad und Windrad.

Typologie

• kompressible Fluide (thermische Strömungsmaschine)
  • Gasturbine
  • Dampfturbine
  • Strahltriebwerk
• Inkompressible Fluide (hydraulische Strömungsmaschine)
  • Windrad (Luft wird bei den auftretenden Strömungsgeschwindigkeiten als inkompressibel betrachtet)
  • Wasserturbinen
• Bauart nach der Richtung des Strömungsmediums
  • axiale Bauart (z. B. Kaplan-Turbine)
  • radiale Bauart (z. B. Pelton-Turbine)

Siehe auch

• Rakete
• Rückstoß
• Wells-Turbine
• Tesla-Turbine
• Turbine (Zahnmedizin)

Weblinks

• Gasturbinen-Eigenbau, Turboladerturbine, TS-21 APU