Eulersche Summenformel

Die Euler-MacLaurin-Formel oder Eulersche Summenformel (nach Leonhard Euler und Colin Maclaurin) ist eine mathematische Formel, die die Berechnung eines Integrals mit der Berechnung einer Summe von Stützstellen verbindet.

Euler-MacLaurin-Formel

Sei $g \in C\,^{2m+2}[0,1]$ (also auf dem Intervall [0,1] mind. 2m+2 mal stetig differenzierbar) dann heißt die einfachste Form der Euler-MacLaurinschen Summenformel:

$\int_0^1 g(t)\,\mathrm dt = \frac{g(0)}{2} + \frac{g(1)}{2} + \sum_{k=1}^{m}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(g\,^{(2k-1)}(0)-g\,^{(2k-1)}(1)\right) - \frac{B_{2m+2}}{(2m+2)!}g\,^{(2m+2)}(\xi)$

wobei B_k die Bernoulli-Zahlen sind ($B_2=1/6, B_4=-1/30, \ldots$) und 0 < ξ < 1 gilt. Mit dieser Formel ist es möglich den Fehler der Trapezregel für das Intervall [0,1] zu bestimmen. Der Term $\frac{g(0)}{2} + \frac{g(1)}{2} = \frac{1-0}{2}(g(0) + g(1))$ ist genau die Approximation eines Integrals durch ein Trapez. Die beiden restlichen Summanden liefern folglich den Fehler, der dabei entsteht. Besonders zu erwähnen ist, dass diese Formel keine Abschätzung ist sondern eine echte Gleichheit und, dass sie sich noch für andere Approximationen verallgemeinern lässt.

Verallgemeinerung

Eine etwas allgemeinere Fassung der Formel ist die folgende: Ist f auf [0;n] mindestens 2k + 2-mal stetig differenzierbar, dann gilt

$\sum_{i = 1}^{n} f(i) = \int_{0}^{n} f(x) \,\mathrm{d}x + \frac{f(n) - f(0)}{2} + \sum_{j = 1}^{k} \frac{B_{2j}}{(2j)!} [f^{(2j-1)}(n) - f^{(2j-1)}(0)] + R_k$, wobei $R_k = \frac{1}{(2k+1)!} \int_{0}^{n} B_{2k+1}(x-\lfloor x\rfloor)f^{(2k+1)}(x)\,\mathrm{d}x$ mit dem Bernoulli-Polynom B_{2k + 1} ist.

Anwendungen und Eigenschaften

Verwendet man eine beliebig oft differenzierbare Funktion f, dann liefert die Euler-MacLaurin-Formel oft keine konvergente, sondern nur eine asymptotische Reihe.

Setzt man zum Beispiel f(x) = ln(1 + x) auf dem Intervall [0;n − 1] ein, dann erhält man die allgemeine Stirling-Reihe. Mit f(x) = x^k, wobei k eine konstante ist, erhält man die Faulhabersche Formel.

Literatur

• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, Springer-Verlag