Fehlendes-Quadrat-Rätsel

Fehlendes-Quadrat-Rätsel: das obere Dreieck (Nr. 1) müsste genauso viel Fläche wie das untere (Nr. 2) einnehmen, da die einzelnen farbigen Teile oben und unten einander genau entsprechen. Doch beim unteren Dreieck fehlt anscheinend soviel farbige Oberfläche, wie es einem Quadrat entspricht

Das Fehlendes-Quadrat-Rätsel ist eine optische Täuschung aus der Geometrie. Dabei sieht es so aus, als sei die Fläche eines Dreiecks unterschiedlich groß, je nachdem, wie man die einzelnen Teilflächen anordnet. Das Rätsel hat sich vermutlich 1953 der Amateurzauberer Paul Curry in New York ausgedacht.

Beschreibung

Zwei gleich große, rechtwinklige Dreiecke werden miteinander verglichen. Bekannt sind die Seitenlängen 13 cm und 5 cm. (Die Maßeinheit an sich ist unwichtig.) Jedes Dreieck besteht aus den gleichen einzelnen Flächen:

• einem rechtwinkligen Dreieck (hier: blau) mit einer Fläche von
  $5 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}\ \mathrm{cm^2}\ =\ 5\ \mathrm{cm^2}$
• einem weiteren Dreieck (hier: rot) mit einer Fläche von
  $8 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}\ \mathrm{cm^2}\ =\ 12\ \mathrm{cm^2}$
• zwei weiteren Flächen (hier: gelb und grün), die zusammen ein Rechteck mit der Größe von
  $5\cdot 3\ \mathrm{cm^2}\ =\ 15\ \mathrm{cm^2}$
  hiervon entfallen
  $1 \cdot 5\ \mathrm{cm^2}+1 \cdot 2\ \mathrm{cm^2}\ =\ 7\ \mathrm{cm^2}$ auf gelb und
  $1 \cdot 5\ \mathrm{cm^2}+1 \cdot 3\ \mathrm{cm^2}\ =\ 8\ \mathrm{cm^2}$ auf grün

Die beiden Gesamtdreiecke sehen gleich groß aus, und sie bestehen aus den gleichen farbigen Flächen. Trotzdem bleibt beim unteren Dreieck ein Quadrat der Größe $1 \times 1\ \mathrm{cm^2}$ übrig. Das wirkt seltsam, da die Gesamtfläche nicht davon abhängen dürfte, wie man die einzelnen Flächen zusammenlegt.

Erklärung

Darstellung der Flächenabweichung

Den Flächeninhalt der beiden Dreiecke kann man leicht errechnen, denn die Katheten sind bekannt. Das sind die beiden Seitenlinien, die jeweils vom rechten Winkel ausgehen. Die Gesamtfläche eines Dreiecks müsste dementsprechend lauten: $13\cdot5\cdot\frac{1}{2}\ \mathrm{cm^2}\ = \ 32,5\mathrm{cm^2}$.

Allerdings kommt man zu anderen Ergebnissen, wenn man die einzelnen Teilflächen zusammenrechnet. Im Falle des oberen Dreiecks sind das die vier farbigen Flächen (rot, blau, grün und gelb). Die Summe ist 32 cm²: $5\ \mathrm{cm^2}+12\ \mathrm{cm^2}+7\ \mathrm{cm^2}+8\ \mathrm{cm^2}\ = \ 32\ \mathrm{cm^2}$

Im Falle des unteren Dreiecks hingegen ist die Summe eine andere. Denn zu den vier farbigen Flächen kommt noch der eine Quadratzentimeter des fehlenden Quadrats hinzu. Die Summe ist dann 33 cm². Beim oberen Dreieck fehlt also in der Summe ein halber Quadratzentimeter, beim unteren Dreieck ist in der Summe ein halber zu viel. Das ist der mathematische Beweis dafür, dass etwas nicht stimmen kann.

Der Trick liegt darin, dass das rote und blaue Dreieck nur scheinbar ähnlich im geometrischen Sinn sind. Ihre Winkel sind in Wirklichkeit verschieden. Mathematisch lässt sich dies wie folgt beweisen:

• blaues Dreieck:
  $\arctan\left(\frac{2}{5}\right)=\arctan\left(0,4\right) \approx 21,8\,^{\circ}$
• rotes Dreieck:
  $\arctan\left(\frac{3}{8}\right)=\arctan\left(0,375\right) \approx 20,56\,^{\circ}$
• zum Vergleich der Winkel eines Dreiecks mit Katheten der Länge von 13 und 5 (also entsprechend dem Gesamtdreieck):
  $\arctan\left(\frac{5}{13}\right) \approx \arctan\left(0,385\right) \approx 21,04\,^{\circ}$

Die beiden Gesamtdreiecke sind folglich keine Dreiecke, sondern Vierecke. Die oberen Kanten dieser scheinbaren Gesamtdreiecke (die jeweils aus den Hypotenusen des roten und des blauen Dreiecks bestehen) sind nämlich keine Geraden. Sie haben jeweils einen leichten Knick am Übergang vom roten zum blauen Dreieck. Das scheinbare obere Gesamtdreieck ist ein konkaves (eingedrücktes) und das scheinbare untere Gesamtdreieck ein konvexes (aufgebogenes) Viereck. Die Flächeninhalte dieser beiden Vierecke unterscheiden sich um 1 cm². Dies entspricht dem fehlendem Quadrat.

Es handelt sich um eine optische Täuschung insofern, als dass die obere Kante nur scheinbar wie eine Gerade aussieht. Das Auge vermutet im Gesamtgebilde ein Dreieck und ist daher geneigt, den Knick zu übersehen. Es geht von einer einheitlichen Gesamtsteigung aus.

Man kann von dieser optischen Täuschung auch eine Papierversion herstellen. Dabei wird der Knick durch eine dick gezeichnete Randlinie verdeckt. Außerdem ist das Ausschneiden und Zusammenfügen viel zu ungenau, dass man den Unterschied sehen könnte.

Weblinks

• Curry's Paradox: How Is It Possible? (englisch)
• Triangles and Paradoxes (englisch)