Feigenbaum-Konstante

Die beiden Feigenbaum-Konstanten δ und α sind mathematische Konstanten, die in der Chaosforschung eine wichtige Rolle spielen.

Erforschung

Der Zahlenwert von δ wurde erstmals 1977 von den Physikern Siegfried Großmann und Stefan Thomae publiziert. Mitchell Feigenbaum, der diese Zahl bereits 1975 beim Studium der Fixpunkte von iterierten Funktionen entdeckt hatte, publizierte 1978 eine Arbeit über die Universalität dieser Konstante. Die Größe der Bedeutung dieser Konstanten für die Chaosforschung wird oft mit der von π für die Geometrie verglichen. Ihre Zahlenwerte lauten

δ = 4,66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161 72581 85577 47576 ... (Folge A006890 in OEIS)

α = 2,50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578 63812 71376 72714 ... (Folge A006891 in OEIS)

Ausschnitt des Feigenbaum-Diagramms der logistischen Gleichung aus dem Bereich der Bifurkationen am Übergang von Ordnung (links) zum Chaos (rechts).

Diese Zahlen treten in Zusammenhang mit nichtlinearen Systemen in Erscheinung, die in Abhängigkeit von einem Parameter reguläres oder chaotisches Verhalten zeigen. Der Übergang ins Chaos ist dabei von einem Parameterbereich mit oszillierendem Verhalten gekennzeichnet. Zum chaotischen Bereich hin nimmt dabei die Oszillationsperiode stufenweise um den Faktor zwei zu, ein Phänomen, das als Periodenverdopplung bezeichnet wird. Die zugehörigen Parameterintervalle werden mit zunehmender Periode immer kürzer. Das Verhältnis der Längen aufeinander folgender Parameterintervalle unterschiedlicher Periode strebt dabei gegen die Feigenbaum-Konstante δ.

Für den Fall nichtlinearer Systeme, die durch Zahlenfolgen mit nichtlinearem rekursiven Bildungsgesetz repräsentiert werden, und die in Abhängigkeit von einem Parameter ein solches Verhalten zeigen, lässt sich dieses Phänomen im so genannten Feigenbaum-Diagramm darstellen. Es stellt Folgenglieder in Abhängigkeit dieses Parameters dar und zwar ab einem Folgenindex, nach dem die Folge sich auf ein bestimmtes Verhalten eingependelt hat, wie beispielsweise Konvergenz gegen einen periodischen Grenzzyklus oder chaotisches Verhalten, und entspricht damit einer Darstellung der Häufungspunkte der Folge. Stellen, an denen eine Periodenverdopplung stattfindet, sind durch gabelförmige Strukturen gekennzeichnet, die als Bifurkationen bezeichnet werden. Das Verhältnis der Breiten aufeinander folgender Gabeln am nächsten Bifurkationspunkt strebt dabei gegen die Feigenbaum-Konstante α. Sie wird oft auch als zweite Feigenbaum-Konstante bezeichnet.

Im Bereich des chaotischen Verhaltens treten Inseln periodischen Verhaltens auf. Der Übergang des Verhaltens in diesen Inseln zum Hauptbereich nichtchaotischen Verhaltens hin ist instantan, in die andere Richtung ist er wiederum von Periodenverdopplungen gekennzeichnet, die quantitativ das gleiche Verhalten zeigen.

Dieses qualitative Verhalten und die zugehörigen Zahlenverhältnisse hängen nicht von den Details des mathematischen oder physikalischen nichtlinearen Systems ab, sondern stellen ein universelles und damit fundamentales Gesetz derartiger Systeme dar. Das einfachste mathematische Beispiel ist das Verhalten von Zahlenfolgen quadratischen rekursiven Bildungsgesetzes, wie die logistische Gleichung und die Zahlenfolge, die der Mandelbrot-Menge zugrunde liegt.

Es wird vermutet, dass δ und α transzendent sind, ein entsprechender Beweis steht jedoch noch aus. Keith Briggs^[1] entwickelte und nutzte 1991 ein Verfahren zur Berechnung der Konstanten mit erhöhter numerischer Genauigkeit. Die genauesten Werte mit 1018 Dezimalstellen wurden 1999 von David Broadhurst angegeben.^[2]

Einzelnachweise

1. ↑ Keith Briggs – Homepage von Keith Briggs
2. ↑ Feigenbaum constants to 1018 decimal places bei Plouffe’s Inverter, E-Mail vom 22. März 1999

Literatur

• Siegfried Großmann, Stefan Thomae: Invariant distributions and stationary correlation functions of one-dimensional discrete processes, Zeitschrift für Naturforschung 32a, 1977, S. 1353–1363
• Mitchell J. Feigenbaum: The universal metric properties of nonlinear transformations (29. Mai 1979), Journal of Statistical Physics 21, Dezember 1979, S. 669–706 (englisch; „α = 2.502907876“ auf S. 703, „δ = 4.6692“ auf S. 704; PDF-Datei, 1,39 MB: [1])
• Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter: The Beauty of Fractals, Springer, New York 1986, ISBN 0-387-15851-0
• Keith Briggs: A precise calculation of the Feigenbaum constants. Mathematics of Computation 57, Juli 1991, S. 435–439 (bei ams.org: [2])

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Feigenbaum Constant. In: MathWorld. (englisch)
• Folge A159766 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von δ)
• Folge A159767 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von α)
• Bifurcation Demo von Suzanne Britton, 22. November 2009 – interaktives Java-Applet zur Demonstration des Feigenbaum-Diagramms

Siehe auch

• Bénard-Experiment