Formel von Cauchy-Hadamard

Als Konvergenzradius einer Potenzreihe der Form

$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$

ist die größte Zahl r definiert, für welche die Potenzreihe für alle x mit | x − x₀ | < r konvergiert. Falls sie auf der ganzen komplexen Zahlenebene konvergiert, sagt man, der Konvergenzradius ist unendlich.

Wird eine reelle Potenzreihe betrachtet, deren Koeffizienten a_k reelle Zahlen sind, und sind auch $x,~x_0$ reell, so ist der Konvergenzbereich nach Auflösung der Betragsungleichung das Intervall $(x_0-r,~x_0+r)$ sowie möglicherweise einer der oder beide Randpunkte. Für Potenzreihen im Komplexen, das heißt, alle diese Größen können komplexe Zahlen sein, besteht der Konvergenzbereich dieser Funktionenreihe aus dem Inneren der Kreisscheibe um den Mittelpunkt x₀ und mit Radius r sowie möglicherweise aus einigen Randpunkten.

Der Konvergenzradius lässt sich mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen. Es gilt

$r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.$

Wenn ab einem bestimmten Index alle a_n von 0 verschieden sind und der folgende Limes existiert, dann kann der Konvergenzradius einfacher durch

$r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg|$

berechnet werden. Diese Formel ist aber nicht immer anwendbar, zum Beispiel bei der Koeffizientenfolge $a_{2n}=1,~a_{2n+1}=1/n$: Die zugehörige Reihe hat Konvergenzradius 1, aber der angegebene Limes existiert nicht. Die Formel von Cauchy-Hadamard ist dagegen immer anwendbar.

Folgerungen aus dem Konvergenzradius:

• Ist | x − x₀ | < r, so ist die Potenzreihe absolut konvergent.
• Ist | x − x₀ | > r, so ist die Potenzreihe divergent.
• Ist | x − x₀ | = r, so kann keine allgemeine Aussage getroffen werden.

Beispiele für unterschiedliches Randverhalten

Die folgenden drei Beispiele haben jeweils Konvergenzradius 1:

• $\sum_{n=0}^\infty x^n$
• $\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^2}$
• $\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}$

Herleitung

Die Formeln für den Konvergenzradius lassen sich aus den Konvergenzkriterien für Reihen herleiten.

Wurzelkriterium

Die Formel von Cauchy-Hadamard ergibt sich aus dem Wurzelkriterium. Nach diesem Kriterium konvergiert die Potenzreihe

$\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_n}\left(x-x_0\right)^n,$

absolut wenn

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \sup }}\,\sqrt[n]{\left| a_n\left(x-x_0\right)^n \right|} = \left|x-x_0\right|\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \sup }}\,\sqrt[n]{|a_n|}&amp;lt;1.$

Auflösen nach $\left|x-x_0\right|$ liefert den Konvergenzradius

$\left|x-x_0\right|&amp;lt;\frac 1{\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \sup }}\sqrt[n]{|a_n|}}=r.$

Quotientenkriterium

Die Potenzreihe $\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_n}\left( x-x_0 \right)^n$ konvergiert nach dem Quotientenkriterium, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

$\begin{align} &amp;amp;\limsup_{n\rightarrow\infty}\left| \frac{a_{n+1}\left(x-x_0\right)^{n+1}}{a_n\left(x-x_0\right)^n} \right|\\ &amp;amp;=\limsup_{n\rightarrow\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\left(x-x_0\right) \right|\\ &amp;amp;=\left|x-x_0\right|\limsup_{n\rightarrow\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|&amp;lt;1. \end{align}$

Auflösen nach $\left|x-x_0\right|$ liefert den Konvergenzradius

$\left|x-x_0\right|&amp;lt;\liminf_{n\rightarrow\infty}\left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|=r.$

Die Potenzreihe konvergiert also für $\left|x-x_0\right|&amp;lt;r$.

Literatur

• E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-540-58650-4.
• P. Hartmann: Mathematik für Informatiker. 3. Auflage. Friedr. Vieweg & Sohn Verlag, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-23181-5.