Formel von Faà di Bruno

Die Formel von Faà di Bruno ist eine Formel der Analysis, die vom italienischen Mathematiker Francesco Faà di Bruno (1825–1888) publiziert wurde.

Mit ihr lassen sich höhere Ableitungen von komponierten Funktionen bestimmen, sie verallgemeinert somit die Kettenregel und gehört zu den Ableitungsregeln der Differentialrechnung.

Formulierung

Sind f und g zwei n-mal differenzierbare Funktionen, die von einer Variablen abhängen und deren Komposition wohldefiniert ist, und ist D der Differentialoperator nach dieser Variablen, so gilt

$D^n (f\circ g)=\sum_{(k_1,\,\ldots\,,k_n)\in T_n} \frac{n!}{k_1! \cdot \ \cdots \ \cdot k_n!} \bigl(D^{k_1+\ldots+k_n} f\bigr)(g)\, \prod_{\scriptstyle m=1\atop\scriptstyle k_m\ge1}^n \biggl(\frac{D^m g}{m!}\biggr)^{k_m}\,$.

Die Menge T_n, über die hier summiert wird, enthält alle n-Tupel $(k_1,\ \ldots\ ,k_n)\,$ aus nichtnegativen, ganzen Zahlen mit $1k_1+2k_2+\cdots+nk_n=n\,$. Das heißt, die Summe erstreckt sich über alle Partitionen von n. Die Anzahl der Summanden ist daher die n-te Partitionszahl. Der Quotient der Fakultäten ist ein Multinomialkoeffizient.

Analogie zur Regel von Leibniz

So wie die Regel von Leibniz die Produktregel auf höhere Ableitungen verallgemeinert, so verallgemeinert die Formel von Faà di Bruno die Kettenregel auf höhere Ableitungen. Letztere Formel ist jedoch beweis- und rechentechnisch weitaus schwieriger.

Bei der Leibniz-Regel gibt es nur n + 1 Summanden, wohingegen bei der Faà di Brunoschen Formel mit der n-ten Partitionszahl P(n) deutlich mehr Summanden auftreten.

Aussehen bei kleiner Ableitungsordnung

Schreibt man die Formel für die ersten natürlichen Zahlen aus (oder benutzt Ketten- und Produktregel iterativ), so sieht man, dass die Ausdrücke schnell lang und unhandlich werden und die Koeffizienten nicht offensichtlich sind:

$\begin{align} D(f\circ g)&=f'(g)\, g'\\ D^2(f\circ g)&=f''(g)\,(g')^2+f'(g)\, g''\\ D^3(f\circ g)&=f'''(g)\,(g')^3 + 3\,f''(g)\,g'\,g'' + f'(g)\,g'''\\ D^4(f\circ g)&=f''''(g)\,(g')^4 + 6\,f'''(g)\,(g')^2\,g''\\ &\quad+4\,f''(g) \,g'\,g'''+3\,f''(g)\,(g'')^2+f'(g)\,g''''\\ D^5(f\circ g)&=f'''''(g)\,(g')^5 + 10\,f''''(g)\,(g')^3\,g''\\ &\quad+10\,f'''(g) \,(g')^2\,g'''+15\,f'''(g)\,g'\,(g'')^2\\ &\quad+10\,f''(g)\,g''\,g'''+5\,f''(g)\,g'\,g''''+f'(g)\,g''''' \end{align}$

Weitere Ableitungen lassen sich mit Computeralgebrasystemen wie zum Beispiel Mathematica oder Maple ausrechnen.

Anwendungsbeispiel

Mit Hilfe der Formel lassen sich die Koeffizienten in der Laurent-Reihe der Gammafunktion in 0 symbolisch angeben. Mit der Funktionalgleichung und Γ(1) = 1 folgt

$\Gamma(x) =\frac{\Gamma(1+x)}x =\frac1x \sum_{n=0}^\infty \frac{D^n \Gamma(1)}{n!} x^n =\frac1x+\sum_{n=1}^\infty \frac{D^n \Gamma(1)}{n!} x^{n-1}$.

Dabei gilt nach Faà di Bruno für die n-te Ableitung der Gammafunktion an der Stelle 1

$\begin{align} D^n\Gamma(1) &=D^n e^{\ln\Gamma(1)}\\ &=\sum_{(k_1,\dots,k_n)\in T_n} \frac{n!}{k_1!\cdots k_n!}\,\Gamma(1) \prod_{\scriptstyle m=1\atop\scriptstyle k_m\ge1}^n \left(\frac{D^m\ln\Gamma(1)}{m!}\right)^{k_m}\\ &=\sum_{(k_1,\dots,k_n)\in T_n} \frac{n!}{k_1!\cdots k_n!}\,(-\gamma)^{k_1} \prod_{\scriptstyle m=2\atop\scriptstyle k_m\ge1}^n \left((-1)^m\, \frac{\zeta(m)}{m}\right)^{k_m}, \end{align}$

wobei wie oben über die entsprechende Menge T_n von n-Tupeln summiert wird. Beim letzten Gleichheitszeichen sind die Ableitungen der Digamma-Funktion $\psi(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$ benutzt, wobei $\gamma=-\psi(1)\,$ die Euler-Mascheroni-Konstante und $\zeta\,$ die Riemannsche Zetafunktion bezeichnet.

Weblinks

• Partitionszahlen sind die Folge A000041 in OEIS
• Monthly (PDF-Datei; 193 kB)
• Mathworld