Friedelsches Gesetz

Das Friedelsche Gesetz geht auf Georges Friedel zurück und kommt in der Kristallographie bei der Kristallstrukturanalyse mit Hilfe von Röntgenstrahlung zur Anwendung.

Es besagt, dass das Beugungsbild eines Kristalls immer zentrosymmetrisch ist, unabhängig davon, ob der Kristall selbst ein Symmetriezentrum besitzt. Oder genauer:

Die Intensitäten der Reflexe (hkl) und $(\bar{h}\bar{k}\bar{l})$ sind gleich, auch wenn der Kristall nicht zentrosymmetrisch ist. Diese beiden Reflexe stammen von den beiden Seiten derselben Netzebenenschar.

• $I_{hkl} = I_{\bar{h}\bar{k}\bar{l}}$

Diese Reflexe werden auch als Friedel-Paare bezeichnet.

Herleitung

Die Braggreflexe eines Kristall werden durch die Millerschen Indizes h,k,l beschrieben. Die Intensität I_hkl eines Braggreflexes ergibt sich als Betragsquadrat des Strukturfaktors F_hkl:

• $I_{hkl} = F_{hkl} * F_{hkl}^*,$ wobei ^* konjugiert komplex bedeutet.

Für den Strukturfaktor F_hkl gilt:

• $F_{hkl} = \sum_n f_n e^{2\pi i (hx_n+ky_n+lz_n)},$ wobei die Summe sich über alle n Atome mit dem Atomformfaktoren f_n der Basis eines Kristalls erstreckt, die an den Stellen x_n,y_n,z_n liegen.

Für den dazu zentrosymmetrisch liegenden Reflex (-h,-k,-l) gilt entsprechend:

• $F_{\bar{h}\bar{k}\bar{l}} = \sum_n f_n e^{2\pi i (-hx_n-ky_n-lz_n)} =^{(1)} (\sum_n f_n e^{2\pi i (hx_n+ky_n+lz_n)})^* = F_{hkl}^*.$

Daraus folgt für die Intensitäten:

• $I_{hkl} = F_{hkl} * F_{hkl}^* = F_{\bar{h}\bar{k}\bar{l}}^* * F_{\bar{h}\bar{k}\bar{l}} = I_{ \bar{h}\bar{k}\bar{l}}$

Die Umformung (1) gilt nur unter der Annahme, dass die f_n alle reelle Größen sind, was in der Regel erfüllt ist.

Anmerkung

Das Friedelsche Gesetz ist eine konkrete Anwendung einer Eigenschaft der Fouriertransformationen reeller Funktionen f(x):

Für die Fouriertransformation

• $F(k)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)e^{i k \cdot x }dx$

der reellen Funktion f(x) gilt:

• $F(k)=F^*(-k) \,.$

Folgen

Aufgrund des Friedelschen Gesetzes kann man mit Röntgenbeugung eine Punktgruppe, die kein Symmetriezentrum hat, von derselben Punktgruppe mit einem zusätzlichen Symmetriezentrum nicht unterscheiden. Daher lassen sich nicht alle 32 Punktgruppen kristallographisch bestimmen, sondern nur die 11 sogenannten Lauegruppen.

Abweichungen vom Friedelschen Gesetz

Grundlage des Friedelschen Gesetzes ist, dass die Atomformfaktoren reelle Größen sind. Für Wellenlängen in der Nähe der Absorptionskante eines Atoms bekommt der Atomformfaktor aber einen deutlichen imaginären Anteil. Daher gilt die Beziehung $F_{hkl} = F_{ \bar{h}\bar{k}\bar{l}}^*$ nicht mehr. Das Friedelsche Gesetz ist dann nur noch erfüllt, wenn die Punktgruppe ein Symmetriezentrum besitzt. Die Differenz $F_{hkl}^2- F_{ \bar{h}\bar{k}\bar{l}}^2$ heißt Bijvoet - Differenz^[1]. Durch Auswertung dieser Differenzen kann man das Phasenproblem lösen.

Einzelnachweise

1. ↑ Lothar Spieß, etc: Moderne Röntgenbeugung. Vieweg und Teubner, 2009, ISBN 978-3-8351-0166-1.

Literatur

• Schwarzenbach D. Kristallographie Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-67114-5
• Walter Borchardt-Ott (2002): Kristallographie. Springer. ISBN 3-540-43964-1
• Werner Massa (2002): Kristallstrukturbestimmung. Teubner. ISBN 3-519-23527-7