Millersche Indizes

Auswahl millerscher Indizes in einem Würfel

Millersche Indizes dienen in der Kristallographie der eindeutigen Bezeichnung von Kristallflächen bzw. Ebenen im Kristallgitter. Die Schreibweise (hkl) wurde im Jahr 1839 von William Hallowes Miller (1801–1880) vorgeschlagen. In der gleichen Arbeit führte Miller auch die heute gebräuchlichen Schreibweisen [uvw] für Richtungen (Richtungsindizes) und {hkl} für Kristallformen, d. h. die Menge aller symmetrisch äquivalenten Flächen, ein.

Beispiele für ihren Einsatz sind:

• in der Kristallmorphologie werden sie verwendet, um die Kristallflächen eindeutig zu beschreiben.
• bei Beugungsmethoden, wie der Röntgenbeugung oder der Elektronenbeugung, bezeichnen sie eine Netzebenen-Schar. Hier werden auch höhere Indizes – beispielsweise 222 – eingesetzt, um die Beugung höherer Ordnung anzugeben. Diese Indizes werden als Laue-Indizes oder (im angelsächsischen Sprachraum) als Bragg-Indizes bezeichnet. Sie werden zur Unterscheidung von den nach Definition teilerfremden^[1] millerschen Indizes üblicherweise ohne Klammern geschrieben.
• in der Materialwissenschaft werden sowohl Gitterebenen als auch Gittervektoren benötigt, um verschiedene Gitterfehler zu charakterisieren.

Notation

Gitterebene (Millersche Indizes)

Drei ganzzahlige Indizes $h\!\,$, $k\!\,$ und $l\!\,$ bilden das Zahlentriplett $(hkl)\!\,$, dies sind die millerschen Indizes. Negative Indizes werden mit einem über die Zahl geschriebenen Balken gekennzeichnet, also beispielsweise $(\bar 1 0 \bar 2)\!\,$. Dieses Triplett bezeichnet eine spezifische Ebene.

Sind anstatt einer spezifischen Netzebene alle symmetrisch äquivalenten Ebenen gemeint, so wird die Notation $\{hkl\}\!\,$ verwendet. Beispielsweise bezeichnet man mit $\{1 0 0\}\!\,$ in einem kubischen Gitter die aufgrund der kubischen Symmetrie äquivalenten Ebenen $(1 0 0)\!\,$, $(\bar 1 0 0)\!\,$, $(0 1 0)\!\,$, $(0 \bar 1 0)\!\,$, $(0 0 1)\!\,$ und $(0 0 \bar 1)\!\,$, was den sechs Oberflächen eines Würfels entspricht.

Jeder Netzebenen-Schar $(hkl)\!\,$ im direkten Gitter entspricht ein Punkt bzw. Ortsvektor im reziproken Gitter des Kristalls. Dieser Vektor hat im reziproken Raum die Koordinaten $h,k,l\!\,$; er steht immer senkrecht auf der gleichnamigen Netzebene und hat als Länge den Kehrwert des Netzebenabstandes.

Gittervektoren (Richtungsindizes)

Auch Vektoren innerhalb des Gitters können durch Indizes bezeichnet werden. Dabei wird die Notation $[u v w]\!\,$ verwendet, um einen spezifischen Vektor zu bezeichnen. Die Notation $\langle u v w \rangle\!\,$ bezeichnet alle zum Vektor $[u v w]\!\,$ symmetrisch äquivalenten Richtungen.

Beispiele: Bei einem kubischen Kristall (also einem Würfel) ist $[1 0 0]\!\,$ eine Richtung parallel zu einer der Würfelkanten, $[1 1 0]\!\,$ die Richtung einer der Flächendiagonalen und $[1 1 1]\!\,$ die Richtung einer Raumdiagonalen.

Definition

Abhängig von seinem Kristallsystem wird jedem Kristall ein Koordinatensystem zugeordnet. Die drei Vektoren $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$ und $\vec{a_3}$ mögen die Basis dieses Gitterkoordinatensystems bilden (nicht zu verwechseln mit den primitiven Translationen des Gitters). Die Basis des zugehörigen reziproken Gitters sei durch die Vektoren $\vec{g_1}$, $\vec{g_2}$ und $\vec{g_3}$ gegeben.

Gitterebene

Es ergeben sich zwei äquivalente Möglichkeiten, eine Gitterebene zu definieren.

Zum einen bezeichnet der Index $( h k l )\!\,$ die Ebene, die durch die drei Punkte $\tfrac{1}{h} \vec{a_1}$, $\tfrac{1}{k} \vec{a_2}$ und $\tfrac{1}{l} \vec{a_3}$ geht. Also schneiden die Basisvektoren des jeweiligen Kristallsystems die Ebenen gerade an den Kehrwerten der einzelnen Indizes. Ein Index von Null bezeichnet dabei einen Schnittpunkt im Unendlichen, d. h., der zugehörige Basisvektor ist parallel zur Ebene.

Die andere Möglichkeit ist, mit $( h k l )\!\,$ den reziproken Gittervektor

$h \vec{g_1} + k \vec{g_2} + l \vec{g_3}$

zu bezeichnen. Dieser Vektor steht senkrecht auf den entsprechenden Gitterebenen.

Dabei werden diejenigen ganzen Zahlen $h\!\,$, $k\!\,$ und $l\!\,$ verwendet, die keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Dies entspricht dem kürzesten reziproken Gittervektor, der senkrecht auf der Ebene steht.

Gittervektor

Entsprechend beschreibt die Notation $[ u v w ]\!\,$ einen Vektor im realen Gitter (Gittervektor)

$u \vec{a_1} + v \vec{a_2} + w \vec{a_3}.$

Dieser Vektor steht im Allgemeinen nicht senkrecht auf der Ebene $( u v w )\!\,$. Dies ist nur im kubischen Gitter der Fall.

Vierer-Schreibweise

Millersche Indizes im hexagonalen Kristallsystem

Im trigonalen Kristallsystem und im hexagonalen Kristallsystem wird häufig die Schreibweise mit vier Indizes, $(HKIL)\!\,$ verwendet. Diese abgewandelten Millerschen Indizes werden als Bravaissche Indizes (auch Bravais-Miller-Indizes oder Miller-Bravais-Indizes) bezeichnet. Die Indizes $H\!\,$, $K\!\,$ und $L\!\,$ stimmen mit den üblichen Millerschen Indizes überein, $I\!\,$ ergibt sich immer als $-(H+K)\!\,$.

Auch für die Richtungsindizes gibt es eine Vierer-Schreibweise. In der Kristallographie und Mineralogie werden meist die normalen Richtungsindizes [uv.w] oder [uv*w] verwendet, wobei durch einen Platzhalter für t angedeutet wird, dass das trigonale bzw. hexagonale Kristallsystem gemeint ist. t ist dabei immer null. In den Werkstoffwissenschaften wird eine andere Schreibweise $[UVTW]\!\,$ bevorzugt, die sogenannten Weber-Indizes oder Weber symbols. Die Umrechnung aus der Dreier-Schreibweise $[uvw]\!\,$ ist hier unterschiedlich zur Umrechnung der Ebenen-Indizes:

$\begin{align} U & = 2u - v\\ V & = 2v - u\\ T & = -(u + v)\\ W & = 3w.\\ \end{align}$

Der Vorteil dieser Schreibweise liegt darin, dass der Vektor $[UVTW]\!\,$, ähnlich wie in kubischen Kristallsystemen, senkrecht auf der Ebene $(UVTW)\!\,$ steht. In der Dreier-Schreibweise ist dies in diesen Kristallsystemen im Allgemeinen nicht der Fall.

Einzelnachweise

1. ↑ Max von Laue: Röntgenstrahl-Interferenzen. 3. Auflage. Frankfurt am Main 1960, S. 114.

Literatur

• William Hallowes Miller: A treatise on crystallography. Deighton, Cambridge 1839 (Volltext in der Google Buchsuche).
• Charles Kittel: Introduction to solid state physics. 7. Aufl., New York, Wiley 1996. ISBN 0-471-11181-3
• Werner Schatt, H. Worch: Werkstoffwissenschaft. 8. Aufl., Dt. Verl. für Grundstoffindustrie, Stuttgart 1996. ISBN 3-342-00675-7
• Hans-Joachim Bautsch, Will Kleber, Joachim Bohm: Einführung in die Kristallographie. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 1998 (Eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
• Christopher Hammond: The basics of crystallography and diffraction. Oxford University Press, Oxford 2001, ISBN 978-0-19-850552-5 (Eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).

Weblinks

 Commons: Miller Index – Album mit Bildern und/oder Videos und Audiodateien

• IUCr Online Dictionary of Crystallography: Miller indices
• IUCr Online Dictionary of Crystallography: Bravais-Miller indices
• Richtungen und Ebenen im Gitter bei der Universität Kiel
• Videovorlesung der Universität Tübingen