Frobenius-Normalform/Beweis der Isomorphieeigenschaft

Im Rahmen der Herleitung der Frobenius-Normalform ist zum Beweis der Isomorphieeigenschaft der Abbildung

$\beta(\begin{pmatrix}g_1\\ \vdots \\g_n\end{pmatrix}+M) = \sum_{i=1}^n g_i(A)u_i$

zu zeigen,

1. dass es sich um einen K[x]-Modul-Homomorphismus handelt, wenn links vom Gleichheitszeichen mit Vektoren statt mit Restklassen gerechnet wird
2. dass die Summe rechts vom Gleichheitszeichen unverändert bleibt, wenn zum Vektor links vom Gleichheitszeichen ein Vektor aus M addiert wird (Wohldefiniertheit der Restklassenabbildung)
3. dass jeder Vektor als Bild rechts vom Gleichheitszeichen auftauchen kann (Surjektivität)
4. dass der Restklassenraum als K-Vektorraum keine größere Dimension als n hat (dann folgt zusammen mit den anderen Eigenschaften auch die Injektivität der Abbildung).

Homomorphie

Die Homomorphie ergibt sich aus den Distributivgesetzen.

Wohldefiniertheit

Jeder Vektor aus M ist Linearkombination der Spaltenvektoren

$\begin{pmatrix}x-a_{11}\\-a_{21}\\ \vdots \\-a_{n1}\end{pmatrix}, \ldots, \begin{pmatrix}-a_{1n}\\-a_{2n}\\ \vdots \\x-a_{nn}\end{pmatrix}$

mit Koeffizienten in K[x]. Der j-te dieser Spaltenvektoren wird abgebildet auf

$Au_j - \sum_{i=1}^n a_{ij}u_i = 0$,

also gilt dies wegen der Homomorphie für jeden Vektor aus M.

Surjektivität

Der erste Vektor der Standardbasis wird abgebildet auf

$\beta(\begin{pmatrix}1\\0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}+M) = u_1$,

analog der zweite Vektor der Standardbasis auf u₂ usw., also wird jeder Basisvektor aus $(u_1,\ldots,u_n)$ erreicht und wegen der Homomorphie damit jeder Vektor.

Dimensionsgleichheit

Nach evtl. Umnummerierung können wir annehmen, dass die Komponenten des Vektors

$\begin{pmatrix}g_1\\ \vdots \\g_n\end{pmatrix}\in K[x]^n$

nach Polynomgraden absteigend geordnet sind. Das Polynom g₁ vom höchsten Grad d lässt sich durch Addition eines in M gelegenen K[x]-Vielfachen ersten Spalte von xE − A in den Vektor

$\begin{pmatrix}g'_1\\ \vdots \\g'_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}g'_1\\ \vdots \\g'_n\end{pmatrix} + h\cdot \begin{pmatrix}x-a_{11}\\-a_{21}\\ \vdots \\-a_{n1}\end{pmatrix}$

mit ${\rm Grad}\,g'_1&amp;lt;d$ überführen, wobei $h\in K[x]$ einen Grad < d hat, und also für die übrigen Komponenten entweder ${\rm Grad}\,g'_i = {\rm Grad}\,g_i=d$ gilt oder ${\rm Grad}\,g'_i &amp;lt; d$, wenn auch ${\rm Grad}\,g_i&amp;lt;d$ war. Durch wiederholtes Addieren von Vektoren aus M lässt sich also der jeweils höchste Grad reduzieren, bis schließlich alle Komponenten Grad 0 haben. Modulo M bilden daher die n Spalten der Einheitsmatrix E ein K-Erzeugendensystem des Restklassenraumes, der daher als K-Vektorraum höchstens Dimension n haben kann.