Galoiskohomologie

Unter Galoiskohomologie versteht man im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie das Studium der Gruppenkohomologie von Galoisgruppen.

Ist L|K eine Körpererweiterung und A ein Galoismodul, also ein Modul unter der Galoisgruppe Gal(L|K), so schreibt man

$\,H^*(L|K,A)=H^*(\mathrm{Gal}(L|K),A)$ (zur Notation siehe den Artikel Gruppenkohomologie)

Ist speziell L = K^sep ein separabler Abschluss von K, so schreibt man auch

$\,H^*(K,A)=H^*(G_K,A)=H^*(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}|K),A).$

Eines der ersten Resultate der Galoiskohomologie ist Hilberts Satz 90, der besagt:

$H^1(K,(K^{\mathrm{sep}})^\times)=0$.

Vor allem in der Klassenkörpertheorie ist die Beziehung zwischen Galoiskohomologie und Brauergruppe wichtig:

$H^2(K,(K^{\mathrm{sep}})^\times)=\mathrm{Br}(K)$.