Jean-Pierre Serre

Jean-Pierre Serre an der Sommerschule über die Serre-Vermutung in Luminy, 19. Juli 2007

Jean-Pierre Serre (* 15. September 1926 in Bages im französischen Department Pyrénées-Orientales) ist einer der führenden Mathematiker des 20. Jahrhunderts und Wegbereiter der modernen Algebraischen Geometrie, Zahlentheorie und Topologie und Träger der Fields-Medaille und des Abelpreises.

Leben

Serres Eltern waren Apotheker. Er ging auf das Gymnasium von Nîmes (Lycée de Nîmes), gewann 1944 den landesweiten Concours général in Mathematik und studierte von 1945 bis 1948 an der École normale supérieure in Paris. Er promovierte an der Sorbonne im Jahre 1951. In dieser Zeit wurde er Mitglied des Mathematikerzirkels Nicolas Bourbaki. Von 1948 bis 1954 war er am Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS) in Paris tätig. 1954-1956 war er an der Universität von Nancy und danach seit 1956 Professor am Collège de France in Paris. Seit 2005 ist er emeritiert.

Zu seinen Hobbys zählen Skifahren, Felsklettern und Tischtennis.

1983 bis 1986 war er mit Ludwig Faddejew Vizepräsident der Internationalen Mathematischen Union.

Werke

Schon im sehr jungen Alter war Serre einer der herausragendsten Schüler von Henri Cartan. Er beschäftigte sich in der Zeit um 1950 mit algebraischer Topologie und wandte Jean Lerays Spektralsequenzen auf die Faserbündel-Räume aus einem topologischen Raum X als Basis und dem Raum der Wege in X als Faser an (loop space method). So konnte er Beziehungen zwischen den Homologiegruppen in Faserbündel-Räumen sowie zwischen Homologie- und Homotopiegruppen finden. Die Anwendung in der Bestimmung der Homotopiegruppen von Sphären, einem notorisch schwierigen Gebiet, sorgte damals für Aufsehen (Dissertation 1951). Er bewies, dass die m-te Homotopiegruppe der n-dimensionalen Sphäre endlich ist, außer für: n gerade und m=2n-1 (m > n).

Serre 2009

Nach einem Aufenthalt in Princeton 1952, wo er u.a. das Artin-Tate-Seminar über Klassenkörpertheorie besuchte, wandte er sich nach der Rückkehr nach Paris im Cartan-Seminar den dort aktuellen Themen Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher und algebraischer Geometrie zu, die er mit Hilfe von Jean Lerays Garbentheorie und den Methoden der algebraischen Topologie (Kohomologietheorie) auf ein neues Fundament stellte. Zunächst geschah das für gerade erzielte Resultate von Cartan und Oka in der Funktionentheorie mehrerer Variabler. Arbeiten über Verallgemeinerungen des Riemann-Roch-Theorems (die gleichzeitig Hirzebruch und Kodaira vorantrieben) 1953 führten ihn schließlich ab 1954 zur Algebraischen Geometrie. Aus den Diskussionen im Cartan-Seminar Mitte der 50er Jahre entstand dann später der Grundstein für Alexander Grothendiecks Theorie der Schemata, auf dem Grothendieck und seine Schule die Algebraische Geometrie neu aufbaute. Zwei der bekanntesten Artikel von Serre aus dieser Zeit sind FAC (Faisceaux Algébriques Cohérents, über die Kohomologie kohärenter Modulgarben) von 1955 und GAGA (Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique) von 1956. Mit „analytischer Geometrie“ ist dabei die Funktionentheorie mehrerer komplexer Variabler gemeint. Bekannt ist der Dualitätssatz von Serre. Während der 1950er Jahre bis zum Ende der 1960er Jahre arbeiteten Grothendieck und Serre intensiv zusammen^[1].

Von 1959 an beschäftigte sich Serre hauptsächlich mit der Zahlentheorie, speziell mit dem Ausbau der Galoiskohomologie für die Klassenkörpertheorie sowie den Galoisdarstellungen in der Theorie der elliptischen Kurven über den rationalen Zahlen. Hier formulierte er die Serre-Vermutung in der Theorie der „zweidimensionalen“ Darstellungen der „absoluten Galoisgruppe“. Das Ziel seiner Arbeiten war die formale Darstellung einer absolute Galoisgruppe eines beliebigen Zahlkörpers, das heißt der Gruppe seiner Automorphismen. Deshalb werden spezielle Darstellungen (Wirkungsorte) dieser Gruppe untersucht, z.B. in den „n-Torsionspunkten“ (rationale Punkte der Kurve, die n-fach „addiert“ nach der Sekanten-/Tangentenmethode von Poincaré Null ergeben) elliptischer Kurven. Da diese geometrisch (da zweifach periodisch) von der Gestalt eines Torus sind, spricht man von „zweidimensionaler Darstellung“. 1972 bewies Serre sein Open image theorem^[2] für elliptische Kurven E (ohne komplexe Multiplikation) über algebraischen Zahlkörpern K. Es besagt, dass die Darstellungen der Galoisgruppe von Körpererweiterungen von K, die durch Hinzunahme der n-Torsionspunkte E gebildet wurden, in der Gruppe $GL_{2} (\Z / n \Z)$ „so groß wie möglich sind“. ^{[A 1]}

Er initiierte außerdem zusammen mit Nicholas Katz die Theorie der p-adischen Modulformen.

Sein Buch A course in Arithmetic bringt auf knappem Raum sowohl eine Diskussion quadratischer Formen als auch der Theorie der Modulformen (mit Anwendung auf Gitter). Er erhielt dafür den Leroy P. Steele Prize.

Serre leistete auch einen wichtigen Beitrag in der Beweiskette, die von Gerhard Frey über Ken Ribet bis Andrew Wiles zum Beweis der Fermat-Vermutung führte.

Aus seiner Freundschaft mit Armand Borel resultierte auch sein Interesse für Lie-Gruppen und ihre Algebren, diskrete Gruppen und ihre Geometrie und Darstellungstheorie von Gruppen. Es war dann nur natürlich, dass er auch die gesammelten Werke von Ferdinand Georg Frobenius herausgab.

Serre ist auch für verschiedene Vermutungen bekannt. Neben der oben erwähnten Vermutung über Galoisdarstellungen zum Beispiel für eine Vermutung in der kommutativen Algebra, die von Andrei Alexandrowitsch Suslin und Daniel Quillen unabhängig bewiesen wurde (dass projektive Moduln über Polynomringen frei sind).

Auszeichnungen und Ehrungen

• 1954 Fields-Medaille
• 1962 hielt er einen Plenarvortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Stockholm (Géométrie Algébrique).
• 1985 Balzan-Preis
• 1987 Médaille d'or du CNRS
• 1995 Leroy P. Steele Prize der American Mathematical Society
• 1996 hielt er einen der Plenarvorträge auf dem zweiten Europäischen Mathematikerkongress in Budapest (Correspondences and dictionaries in geometry and number theory)
• 2000 Wolf-Preis
• 2003 Abel-Preis
• Großoffizier der französischen Ehrenlegion
• Großkreuz des Ordre national du Mérite
• Mitglied einer Reihe wissenschaftlicher Akademien, u.a. ist er Fellow der Royal Society und seit 1976 Mitglied der Academie des Sciences.

Zitate

Präzision kombiniert mit Informeller Kürze - das ist das Ideal in Büchern ebenso wie in Vorlesungen (Interview mit Leong, Chong 1985)

Einige Mathematiker haben klare und weitreichende „Programme“... Ich hatte niemals ein solches Programm, nicht einmal ein Kleines^[3]

Literatur

von Jean-Pierre Serre:

• Oeuvres, 1988-1995, 4 Bde.
• Linear representations of finite groups, Springer 1996 (deutsch vieweg 1972)
• A course in arithmetic, Springer 1996 (zuerst frz.1970)
• Galois cohomology, Springer 2002 (englische Ausgabe des College de France Kurses 1962/3)
• Topics in Galois theory, 1992
• Local algebra, Springer 2000 (engl.Ausgabe von Corps Locaux, 1962)
• Algebre locale- multiplicites 1965
• Algebraic groups and class fields, Springer 1988 (engl. Ausgabe von Groupes algebriques et corps des classes 1959)
• Lectures on the Mordell-Weil theorem, vieweg 1997, 3.ed.
• Trees, Springer 1980 (frz.Original Arbres, amalgames, SL(2) 1977)
• Abelian l-adic representations and elliptic curves, Benjamin, New York 1968
• Lie algebras and Lie groups, Springer 1992 (zuerst Lectures Harvard 1964)
• Complex semisimple lie algebras, Springer 1987
• Grothendieck-Serre correspondence, 2003, American Mathematical Society (Colmez ed., die zahlreichen Telefongespräche der beiden insbesondere während ihrer gleichzeitigen Anwesenheit in Paris sind allerdings nicht erfasst)
• Interview mit Leong, Chong in Mathematical Intelligencer 1986, Nr.4, online hier: [1]
• Interview in Notices AMS 2004, Heft 2, pdf Datei

Weblinks

• Literatur von und über Jean-Pierre Serre im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek
• "Erstmalige Verleihung des Abel-Preises Auszeichnung von Jean-Pierre Serre für sein Gesamtwerk" (pdf.)
• Jean-Pierre Serre. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch)
• Serre "Un theoreme de dualite", Commentarii Math.Helvetici 1955, sein Dualitätssatz
• Serre "Proprietes galoisiennes des points d ordre fini des courbes elliptiques", Inventiones Mathematicae 1972
• Seine Arbeiten zum Riemann-Roch Theorem mit Borel im Bull.Soc.Math.France 1958, GAGA von 1956, und diverse Beiträge zu den Cartan, "Lie", Chevalley-Seminaren u.a. sind online hier: [2]

Anmerkungen

1. ↑ Für genügend große n existiert eine surjektive Abbildung.

Einzelnachweise

1. ↑ Der letzte Brief aus der Grothendieck-Serre Korrespondenz, die 2001 durch die Societe Mathematique de France veröffentlicht wurde, stammt vom Januar 1969, um dann erst wieder mit einigen Briefen Mitte der 1980er Jahre fortgesetzt zu werden
2. ↑ Inventiones Mathematicae, Bd.15, 1972, S.259
3. ↑ Interview mit Leong, Chong, Singapur 1985, some mathematicians have clear and far-ranging „programs“..(er erwähnt Grothendieck und Langlands als Beispiel)... I never had such a program, not even a small size one. I just work on things which happen to interest me at the moment.

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