- Modul (Mathematik)
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Ein Modul [ˈmoːdul] (maskulinum, Plural: Moduln [ˈmoːduln]) ist eine algebraische Struktur, die eine Verallgemeinerung eines Vektorraums darstellt.
Inhaltsverzeichnis
Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement
In diesem einfachsten Fall kann man direkt die Axiome eines Vektorraums abschreiben und überall „Körper“ durch „Ring“ ersetzen: Ein Modul über einem kommutativen Ring mit Einselement ist eine abelsche Gruppe (M, + ) zusammen mit einer Abbildung
- („Multiplikation mit Skalaren“),
so dass gilt:
Fordert man zusätzlich noch , so nennt man den Modul unitär.
Das Studium dieser Moduln ist Gegenstand der kommutativen Algebra.
Abelsche Gruppen
Jede abelsche Gruppe ist auf eindeutige Weise ein unitärer -Modul: Wegen
sind höchstens
und analog
(für natürliche Zahlen k) denkbar. Da diese einzig mögliche Verknüpfung aber die Modulaxiome erfüllt, folgt die Behauptung. (Hier wurde die abelsche Gruppe additiv geschrieben).
Vektorräume mit einer linearen Abbildung in sich selbst
Sei k[X] der Polynomring über einem Körper k. Dann entsprechen die k[X]-Moduln eins-zu-eins den Paaren (V,A) bestehend aus einem k-Vektorraum V und einem Endomorphismus A von V:
- Sei M ein k[X]-Modul. Wir stellen fest, dass M auch ein k-Vektorraum ist, da k in k[X] eingebettet ist. Sei V dieser Vektorraum. Das zu M gehörige Paar ist nun (V,A), wobei A durch
-
- gegeben ist.
- Zu einem Paar (V,A) definieren wir eine k[X]-Modulstruktur durch
-
- und setzen das k-linear auf k[X] fort, d.h. für alle
setzen wir
Ringideale
Jeder Ring ist ein Modul über sich selbst mit der Ringmultiplikation als Operation. Die Untermoduln entsprechen dann genau den Idealen von R (da R in diesem Abschnitt kommutativ ist, brauchen wir nicht zwischen Links- und Rechtsidealen zu unterscheiden).
Moduln über einem beliebigen Ring
Es sei R ein Ring. Ist R nicht kommutativ, so muss man zwischen Links- und Rechtsmoduln unterscheiden.
Ein R-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe M zusammen mit einer Abbildung
die in beiden Argumenten additiv ist, d. h. für alle gilt
- und
und für die
- für alle
gilt. Wird R als unitär angenommen, so fordert man meist auch, dass M ein unitärer Modul ist, d. h.
- für alle .
Ein R-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe M zusammen mit einer in beiden Argumenten additiven Abbildung
so dass
- für alle
Ein Rechtsmodul über einem unitären Ring ist unitär, wenn
- für alle gilt.
Ist R kommutativ, so stimmen die Begriffe Links- und Rechtsmodul (bis auf die Schreibweise) überein, und man spricht einfach von R-Moduln.
Alternative Definitionen
- Ein R-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe M zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus
-
- Dabei ist der Ring der Endomorphismen von M mit der Verkettung als Produkt:
- für
- Ein R-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe M zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus
-
- Dabei sei der Ring der Endomorphismen von M mit der Rechtsverkettung als Produkt:
- für
Bimoduln
Es seien R und S Ringe. Dann ist ein R-S-Bimodul eine abelsche Gruppe M zusammen mit einer R-Linksmodul- und einer S-Rechtsmodulstruktur, so dass
- für
gilt.
Alternativ ist ein R-S-Bimodul eine abelsche Gruppe M zusammen mit einem Ringhomomorphismus
Moduln über einer assoziativen Algebra
Ist R ein kommutativer Ring und A eine assoziative R-Algebra, so ist ein A-Linksmodul ein R-Modul M zusammen mit einem R-Modulhomomorphismus
so dass
- a1(a2m) = (a1a2)m für
gilt.
Ein A-Rechtsmodul ist ein R-Modul M zusammen mit einem R-Modulhomomorphismus
so dass
- (ma1)a2 = m(a1a2) für
gilt.
Unitäre Moduln und Bimoduln sind analog zum Fall der Ringe definiert.
Moduln über einer Lie-Algebra
Es sei eine Lie-Algebra über einem Körper k. Ein -Modul oder eine Darstellung von ist ein k-Vektorraum M zusammen mit einer k-bilinearen Abbildung
so dass
- [X,Y]m = XYm − YXm für
gilt.
Alternativ ist ein -Modul ein k-Vektorraum M zusammen mit einem Homomorphismus von Liealgebren über k
dabei ist die k-Algebra der Endomorphismen von M mit dem Kommutator als Lieklammer.
-Moduln sind dasselbe wie Moduln unter der universellen einhüllenden Algebra von .
Moduln über einer Gruppe
Es sei eine Gruppe. Ein G-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe (M, + ) zusammen mit einer Abbildung
- ,
so dass
- g(m1 + m2) = gm1 + gm2 für
und
- (g1g2)m = g1(g2m) für
gilt.
Ein G-Rechtsmodul ist analog definiert; die zweite Bedingung ist durch
- m(g1g2) = (mg1)g2 für
zu ersetzen.
Alternativ dazu ist ein G-Linksmodul eine abelsche Gruppe (M, + ) zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus
dabei ist die Gruppe der Automorphismen von M mit der Verknüpfung
- für
Ein G-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe (M, + ) zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus
das Produkt auf ist durch
- für
gegeben.
Ist R weiter ein Ring, so ist ein G-R-Modul eine abelsche Gruppe mit einer R-Modul- und einer G-Modulstruktur, die in dem folgenden Sinne kompatibel sind:
- r(gm) = g(rm) für
Alternativ ist ein G-R-Modul ein R-Modul zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus
dabei ist AutR M die Gruppe der Automorphismen von M als R-Modul.
G-R-Moduln sind dasselbe wie Moduln über dem Gruppenring R[G].
Ist k speziell ein Körper, so stimmt der Begriff des G-k-Moduls mit dem der k-linearen Darstellung von G überein.
Siehe auch
- Untermodul
- Modulhomomorphismus
- Einfacher Modul
- Basis (Modul)
- Freier Modul
- Moduln über Hauptidealringen
Weblinks
http://www.mathematik-netz.de/pdf/Moduln.pdf Alexander Hölzle: Einführung in die Modultheorie.
Literatur
- Siegfried Bosch: Algebra, 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.
- L.V. Kuz'min: Module. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.
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