Gateaux-Differential

Das Gâteaux-Differential, benannt nach René Gâteaux (1889-1914), stellt eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Differentiationsbegriffes dar. Gewöhnlich hat man für eine Funktion $f:G \to \mathbb{R}, G \subset \mathbb{R}^n$ offene Menge, die an der Stelle $x_0 \in G$ differenzierbar ist, als Definition der (partiellen) Ableitung $\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0,1},x_{0,2},\ldots,x_{0,i}+h,\ldots,x_{0,n})-f(x_0)}{h}\ (i={1,2,...,n})$. Insbesondere ergibt sich für n = 1 das bekannte $\frac{\mathrm{d}f(x_0)}{\mathrm{d}x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

Definitionen

1. Variation; Variationsableitung

Sei nun für das Gâteaux-Differential folgende Situation gegeben: Es sei wie üblich $f: D(f) \to \mathbb{R}$ ein in $\Omega\in D(f)$ definiertes Funktional; Ω sei ein offener linearer normierter Raum (d. h. ein Vektorraum, versehen mit einer Norm $\|\cdot\|$) oder ein allgemeinerer topologischer Vektorraum mit Voraussetzungen, über die man sich im konkreten Anwendungsfall nähere Gedanken machen muss; ferner sei $x_0 \in D(f), \mathbf v \in \Omega$ (also ein Vektor).

Dann ist das Gâteaux-Differential an der Stelle x₀, falls es dort existiert, definiert durch die folgende Ableitung nach ε:

$\delta f(x_0,\mathbf v) =\lim_{\epsilon \to 0} \frac{f(x_0+\epsilon\cdot \mathbf v)-f(x_0)}{\epsilon } = \left. \frac{\mathrm{d}f(x_0+\epsilon\cdot \mathbf v)}{\mathrm{d}\epsilon} \right|_{\epsilon=0}$

oder auch für $x_1 \in D(f)$ durch

$\delta f(x_0,\mathbf{x_1-x_0}) =\lim_{\epsilon\to 0} \frac{f(x_0+\epsilon\cdot \mathbf{(x_1-x_0)})-f(x_0)}{\epsilon}\,.\,$

Man beachte dabei $x_0 \in D(f)$, $\mathbf v \in \Omega$ und ebenfalls $\mathbf x_1-\mathbf x_0$ darin, aber $\epsilon \in \mathbb{R}$.

Die Gâteaux-Ableitung nach ε ist bezüglich der Größe $\mathbf h:=\mathbf x_1-\mathbf x_0$ ein Funktional, das auch als 1. Variation von f an der Stelle x₀ bezeichnet wird.

Eine andere Möglichkeit ist, anstelle normierter Vektorräume allgemeinere topologische Vektorräume mit komplizierterem Konvergenzbegriff zu benutzen, z. B. Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen) wie die Dirac-Funktion δ(x − a).

Vor allem in Physikbüchern werden Funktionale üblichweise mit dem Buchstaben „I“ bezeichnet, und statt der Größe $\mathbf h:=\mathbf x_1-\mathbf x_0$ schreibt man meist $\delta q(x)\,,$ mit distributionswertigen Größen. Statt der Ableitung $\frac{d I(x+\epsilon\cdot \mathbf h)}{d\epsilon}_{\,|\epsilon=0}$ führt man in einem Zusatzschritt die sog. Variationsableitung ein, die eng mit der Gâteaux-Ableitung zusammenhängt.

Beispiel: Für $f(\epsilon ):=\int\,{\rm d}t\, \mathcal L(t,q(t)+\epsilon\cdot\delta q(t), \dot q(t)+\epsilon\cdot\frac{{\rm d} (\delta q(t))}{{\rm d} t})$ erhält man nach einer partiellen Integration mit verschwindendem ausintegrierten Teil ein Resultat der Form $\frac{{\rm d}f}{{\rm d}\epsilon}(\epsilon \to 0)\,=\,\int\,{\rm d}t \,\frac{\delta \mathcal L}{\delta q(t)}\cdot \delta q(t)\,,$ mit der Variationsableitung

$\frac{\delta \mathcal L}{\delta q(t)}\equiv \frac{\partial \mathcal L}{\partial q(t)}-\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{\partial\mathcal L}{\partial \dot q(t)}\,.$

(Die Variationsableitung "an der Stelle q(t)" bei kontinuierlichen Variablen ist also die Verallgemeinerung der partiellen Ableitung $\frac{\partial \mathcal L}{\partial x_i}$ einer Funktion von n Variablen, also z. B. für den fiktiven Fall $\mathcal L=\mathcal L(x_1, ..., x_n)\,.$ So ähnlich wie im fiktiven Fall das totale Differential einer Funktion von n Variablen, so hat auch hier $\delta f\,,$ das totale Differential des Funktionals, invariante Bedeutung. Weitere Einzelheiten im Kapitel Lagrange-Formalismus.)

In Folgenden wird der Einfachheit halber auf die Kennung der Vektoren durch „fett geschriebene“ Buchstaben verzichtet.

2. Variation

$\delta^2 f(x_0,v) = \left. \frac{\mathrm{d}^2 f(x_0+\epsilon \cdot v)}{\mathrm{d}\epsilon^2} \right|_{\epsilon=0}$

Halbseitiges Differential und Richtungsableitung

Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist das einseitige Gâteaux-Differential definiert: $\delta_+ f(x_0,v) =\lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{f(x_0+\epsilon\cdot v)-f(x_0)}{\epsilon }$ bzw. $\delta_- f(x_0,v) =\lim_{\epsilon \to 0^-} \frac{f(x_0+\epsilon\cdot v)-f(x_0)}{\epsilon }\,.$ Das einseitige Gâteaux-Differential wird auch Richtungsdifferential von f an der Stelle x₀ genannt. Für die zum Vektor v gehörende Richtung verallgemeinert nämlich bei „kontinuierlichen Variablen“ das einseitige Gâteaux-Differential (genauer: die zugehörige Variationsableitung) gerade die Richtungsableitung von f in Richtung v an der Stelle x₀.

Gâteaux-Ableitung

Ist δf(x₀,v) ein in v stetiges, lineares Funktional (d. h. die Funktion vermittelt durch $v \mapsto f(x_0,v)$ ist homogen, additiv und stetig im Argument v), dann heißt f'(x₀) Gâteaux-Ableitung an der Stelle x₀. und f Gâteaux-differenzierbar in x₀.

Eigenschaften der 1. Variation

Homogenität

$\delta f(x_0,k\cdot v)=k\cdot \delta f(x_0,v)$ für alle $k \in \mathbb{R}$

Die Eigenschaft gilt analog für das einseitige Gâteaux-Differential.

Beweis: $\delta f(x_0,k\cdot v)=\lim_{\epsilon\to 0} \frac{f(x_0+k\epsilon\cdot v)-f(x_0)}{\epsilon } =\lim_{\epsilon\to 0} \frac{k\cdot (f(x_0+k\epsilon\cdot v)-f(x_0))}{k\cdot \epsilon }$ (nun nennen wir $s:=k\cdot \epsilon$) $=\lim_{s\to 0} k\cdot \frac{f(x_0+sv)-f(x_0)}{s} =k\cdot \left(\lim_{s\to 0} \frac{f(x_0+sv)-f(x_0)}{s}\right)$ (und nun wieder ε = s) $=k\cdot \lim_{\epsilon\to 0} \frac{f(x_0+\epsilon\cdot v)-f(x_0)}{\epsilon } =k\cdot \delta f(x_0,v)$

Nichtlinearität

Im allgemeinen Fall gilt $\delta f(x_0,v)+\delta f(x_0,w)\ne \delta f(x_0,v+w)$.

Gegenbeispiel zur Linearität: $f(x)=\frac{x_1^2 x_2}{x_1^2+x_2^2}$ für $x \ne 0$ und f(0) = 0, wobei x = (x₁,x₂), dann ist $\delta f(0,v)=\lim_{\epsilon\to 0} \frac{f(0+\epsilon\cdot v)-f(0)}{\epsilon } = \lim_{\epsilon\to 0}\frac{f(\epsilon\cdot v)}{\epsilon } = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\epsilon^2 v_1^2 \cdot \epsilon v_2}{(\epsilon^2 v_1^2 + \epsilon^2 v_2^2)\epsilon } = \frac{v_1^2 v_2}{v_1^2 + v_2^2} = f(v)$. Die Funktion f ist nicht linear. Es ist zum Beispiel $\delta f(0,(0,1)) + \delta f(0,(1,0)) = 0 + 0 \ne \frac 12 = \delta f(0,(1,1))$.

Beispiele

1. f(x₁,x₂) = 1, falls $x_2=x_1^2$, $x_1\ne 0$ bzw 0 sonst $\delta f((0,0),v)=\lim_{t\to 0} \frac{0-0}{t}=0$.
2. $f(x)=|x|,\ x \in \mathbb{R}^n$ $\delta_+ f(0,v)=\lim_{\epsilon \to 0^+}\frac{|0+\epsilon\cdot v|-0}{\epsilon }=|v|$
3. $f(x_1,x_2)= x_1^2 \left(1+\frac{1}{x_2}\right)$ für $x_2\ne 0$ und $-\frac{x_1^2}{x_2^2}$ für x₂ = 0, $\nabla f(x_1,x_2)=\left( 2\cdot x_1 \cdot\left(1+\frac{1}{x_2}\right),-\frac{x_1^2}{x_2^2}\right)^T$

$\delta f((0,0),v)=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{(\epsilon\cdot v_1)^2\cdot\left(1+\frac{1}{\epsilon}\cdot v_1\right)}{\epsilon}=\frac{v_1^2}{v_2}$ (wobei v = (v₁,v₂)^T)

Anwendungen

Wie die gewöhnliche Ableitung ist das Gâteaux-Differential zum Bestimmen von Extrema und daher in der Optimierung von Nutzen. Sei $f: X \to \mathbb{R},\ X \in D(f) \in \Omega$ offen, Ω linearer normierter Raum, $x_0 \in \operatorname{int}(X)$ (das Innere der Menge X), $\operatorname{int}(X) \ne \emptyset$ und $B_\varepsilon(x_0)$ der offene Ball um x₀ mit Radius $\varepsilon$. Notwendige Optimalitätsbedingung: Sei x₀ ein lokales Minimum von f auf X, dann ist $\delta_+ f(x_0,v)\geq 0\ \forall v \in \Omega$, falls das einseitige Gâteaux-Differential in x₀ existiert. Hinreichende Optimalitätsbedingung: f besitze in $B_\varepsilon (x_0)$ eine 2. Variation $\forall v \in \Omega$ und $\forall x \in B_\varepsilon (x_0)$. Falls gilt $\delta f(x_0,v)=0\ \forall v \in \Omega$ und für ein c > 0 $\delta^2 f(x_0,v)\geq c\cdot\|v\|^2\ \forall v \in \Omega$ und $\forall x \in B_\varepsilon (x_0)$, dann ist x₀ strenge lokale Minimalstelle von f auf $\operatorname{int}(X)$.

Siehe auch

• Fréchet-Ableitung