Fréchet-Differential

Die Fréchet-Ableitung (nach Maurice René Fréchet) verallgemeinert den Begriff der Ableitung aus der üblichen Differentialrechnung im $\mathbb{R}^n$ auf normierte Räume.

Definition

Beziehung der drei Abbildungen

Es seien X und Y normierte Räume und $U\subset X$ eine offene Teilmenge. Ein Operator $A:U\to Y$ heißt Fréchet-differenzierbar an der Stelle $\varphi\in U$, wenn es einen beschränkten linearen Operator $A'(\varphi):X\to Y$ derart gibt, dass

$\lim\limits_{h\to 0} \frac{1}{\|h\|}\, \|A(\varphi+h)-A(\varphi)-A'(\varphi)h\|=0$

gilt. Der Operator $A'(\varphi)$ heißt Fréchet-Ableitung von A an der Stelle $\varphi$. Existiert die Fréchet-Ableitung für alle $\varphi\in U$, dann heißt die Abbildung $A':U\to L(X,Y)$ mit $\varphi\mapsto A'(\varphi)$ die Fréchet-Ableitung von A auf U.

Mit L(X,Y) bezeichnen wir hier den der Raum der stetigen linearen Abbildungen von X nach Y.

Äquivalente Definition

Eine äquivalente Definition ist:

Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0 so, dass

$\|A(\varphi+h)-A(\varphi)-A'(\varphi)h\|\le \epsilon \|h\|$

für alle $h\in X$ mit $\|h\|\le \delta$. Dies lässt sich auch kurz mit Hilfe der Landau-Symbole schreiben:

$A(\varphi+h)-A(\varphi) = A'(\varphi)h + o(\|h\|)$ für $h\to 0$.

Beispiele

Lineare Operatoren

Für endlichdimensionale normierte Räume X,Y sind alle linearen Operatoren $A:X\to Y$ Fréchet-differenzierbar mit konstanter Ableitung. An jedem Punkt ist die Ableitung der lineare Operator selbst: A'(x) = A.

Im unendlichdimensionalen Fall sind genau die beschränkten (=stetigen) linearen Operatoren Fréchet-differenzierbar. Unbeschränkte lineare Operatoren sind nicht Fréchet-differenzierbar.

Reellwertige Funktionen

Ist $f:U\to \mathbb{R}$ eine reellwertige Funktion, die auf einer offenen Menge $U\subset\mathbb{R}^n$ definiert ist und besitzt f stetige partielle Ableitungen, dann ist f auch Fréchet-differenzierbar. Die Ableitung an der Stelle x wird durch den üblichen Gradienten von f gegeben gemäß:

$f'(x):h\mapsto \mbox{grad} f(x)\cdot h=\sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)\, h_i$

Dieses Beispiel zeigt den Zusammenhang zur üblichen Differentialrechnung im $\mathbb{R}^n$. Die Fréchet-Ableitung ist also tatsächlich eine Verallgemeinerung der Differentialrechnung für normierte Räume.

Rechenregeln

Es lassen sich die üblichen Rechenregeln für die Ableitung im $\mathbb{R}^n$ auch für die Fréchet-Ableitung zeigen. Es gilt:

• $(A+B)'(\varphi)=A'(\varphi)+B'(\varphi)$
• $(\lambda A)'(\varphi)=\lambda A'(\varphi)$
• $(A\circ B)'(\varphi)=(A'\circ B)(\varphi)\, B'(\varphi)$

Bei der letzten Regel (Kettenregel) müssen die Definitions- und Wertebereiche der Operatoren A und B übereinstimmen. Das Produkt $(A'\circ B)(\varphi)\, B'(\varphi)$ ist hierbei im Sinne der Multiplikation (Hintereinanderausführung) linearer Abbildungen zu verstehen.

Zusammenhang zwischen Fréchet- und Gâteaux-Ableitung

Sei A an der Stelle $\varphi$ Fréchet-differenzierbar, dann existiert für jede beliebige Richtung $h \in X$ das Gâteaux-Differential $\delta A(\varphi,h)$ und es gilt:

$\delta A(\varphi,h) = A'(\varphi) h$.

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Außerdem existiert dann die Gâteaux-Ableitung von A an der Stelle $\varphi$, die im Folgenden mit $A'_s(\varphi)$ bezeichnet wird, und es gilt:

$A'_s(\varphi) = A'(\varphi)$.

Auch hier gilt die Umkehrung im Allgemeinen nicht.

Unter folgenden Bedingungen gilt auch die Umkehrung:

Sei $U_\epsilon(\varphi) = \{ x \in X \; | \; \|x- \varphi\| < \epsilon \}$ mit $U_\epsilon(\varphi) \subset U \subset X, \epsilon > 0$ eine offene Kugel um den Punkt $\varphi$. Wenn $A: U \to Y$ in jedem Punkt $\varphi \in U_\epsilon(\varphi)$ Gâteaux-differenzierbar ist und die Abbildung

$A'_s(.) : U_\epsilon(\varphi) \to \mathcal{L}(X,Y)$ gegeben durch $\psi \mapsto A'_s(\psi)$

im Punkt $\varphi$ stetig ist, dann ist A im Punkt $\varphi$ Fréchet-differenzierbar und es gilt:

$A'(\varphi) = A'_s(\varphi)$.

Anwendungsbeispiel

Die Fréchet-Ableitung kann z. B. zur Lösung sogenannter inverser Randwertprobleme im Rahmen eines Newton-Verfahrens verwendet werden. Als Beispiel für diese Anwendung betrachten wir ein inverses Randwertproblem zur Laplace-Gleichung:

Es sei $D\subset\mathbb{R}^2$ ein unbekanntes Gebiet. Wir betrachten das äußere Dirichlet-Problem, bei dem die Randwerte auf $\partial D$ durch eine Quelle im Punkt $z\in\mathbb{R}^2\setminus \bar D$ gegeben sind. Dann erfüllt die beschränkte und zweimal stetig differenzierbare Funktion u in $\mathbb{R}^2\setminus \bar D$ die Laplace-Gleichung:

$\Delta u=0 \quad\mbox{in}\,\, \mathbb{R}^2\setminus \bar D$

und die Dirichlet Randbedingung:

$u=-\Phi(\cdot,z)\quad\mbox{auf}\,\,\partial D.$

Mit Φ bezeichnen wir die Grundlösung zur Laplace-Gleichung, die eine Punktquelle im Punkt z beschreibt.

Beim inversen Randwertproblem gehen wir von einem zweiten (bekannten) Gebiet $B\subset \mathbb{R}^2$ aus, welches D enthält. Auf dem Rand $\partial B$ von B messen wir die Werte der Lösung u des direkten Dirichlet-Problems. Wir kennen also die Spur $u|_{\partial B}$. Unser Ziel ist nun den unbekannten Rand $\partial D$ von D aus der Kenntnis dieser Spur zu rekonstruieren.

Dieses Problem lässt sich formal durch einen Operator F beschreiben, der den unbekannten Rand $\partial D$ auf die bekannte Spur $u|_{\partial B}$ abbildet. Wir müssen also folgende nichtlineare Gleichung lösen:

$F(\partial D)=u|_{\partial B}$

Diese Gleichung kann z. B. mit Hilfe des Newton-Verfahrens linearisiert werden. Dazu schränken wir uns auf Gebiete D ein, dessen Rand wie folgt dargestellt werden kann:

$\displaystyle x(t)=r(t)(\cos(t),\sin(t))$

Wir suchen nun also die unbekannte Radiusfunktion r. Die linearisierte Gleichung (das Newton-Verfahren) sieht dann wie folgt aus:

$F(r)+F'(r,q)=u|_{\partial B}$

Hierbei bezeichnet $\displaystyle F'$ die Fréchet-Ableitung des Operators $\displaystyle F$ (Die Existenz der Fréchet-Ableitung für $\displaystyle F$ kann gezeigt werden und $\displaystyle F'$ kann über ein direktes Randwertproblem bestimmt werden!). Diese Gleichung wird dann nach q aufgelöst, wobei wir mit r + q eine neue Näherung an den unbekannten gesuchten Rand gefunden haben. Anschließend kann mit dieser Näherung das Verfahren iteriert werden.

Literatur

• Rainer Kress: Linear Integral Equations. Second Edition. Springer 1998, ISBN 0-387-98700-2
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. Teubner, Stuttgart – Leipzig, ISBN 3-519-42232-8

Siehe auch

• Gâteaux-Differential