Generalisierter Impuls

Der generalisierte Impuls (auch verallgemeinerter, kanonischer, kanonisch konjugierter oder konjugierter Impuls) tritt sowohl in der Hamiltonschen Mechanik als auch in der Lagrange-Mechanik auf. Zusammen mit dem Ort kennzeichnet er den jeweiligen Zustand des Systems, der sich mit der Zeit gemäß den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ändert.

Als Funktion des Ortes und der Geschwindigkeit ist der generalisierte Impuls die Ableitung der Lagrange-Funktion L nach der Geschwindigkeit $\dot q$

$p_{j}={\frac{{\partial L}}{{\partial \dot q_j }}}\,,\ j=1 .... n\,.$

Beim Übergang von der klassischen Physik zur Quantenmechanik wird der kanonische Impuls (im Gegensatz zum kinetischen Impuls) durch den Impulsoperator ersetzt:

$p_j\rightarrow \hat p_j= -\hbar i\frac{\partial}{\partial x_j}\,.$

Beispiele

Klassische Bewegung

• Bei Bewegung eines Teilchens der Masse m in einem Potential $V(\mathbf{x},t)$ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten

$L = \frac{1}{2}\, m\, \dot{\mathbf{x}}^2-V(\mathbf{x},t)$,

ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls

$\mathbf p = m \dot{\mathbf x}$

• Bei Bewegung eines Teilchens der Masse m in einem Potential V(r,φ,z,t)

$L = \frac 1 2\, m \bigl(\dot r^2 + r^2 \dot{\varphi}^2 + \dot{z}^2 \bigr)- V(r,\varphi,z,t)$

ist in Zylinderkoordinaten der zum Winkel konjugierte generalisierte Impuls die Komponente des Drehimpulses in Richtung der Zylinderachse.

$p_{\dot{\varphi}} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}= m\,r^2\dot{\varphi}$

• Bei Bewegung einer Punktladung q mit Masse m im elektromagnetischen Feld

$L = \frac{1}{2}\, m\, \dot{\mathbf x}^2 - q\, \phi(t, \mathbf x) + q\, \dot{\mathbf x} \cdot \mathbf A(t, \mathbf x)$

hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des Feldes

$\mathbf p = m\,\dot{\mathbf x} + q\, \mathbf A(t,\mathbf x)$

Relativistische Bewegung

• Bei der relativistischen Bewegung eines Teilchens der Ruhemasse m₀ in einem Potential $V(\mathbf{x},t)$ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten

$L=-m_{0}c^{2}\sqrt{1-\frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}\,-\, V(\mathbf{x},t)$

ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls

$\mathbf{p}=\frac{m_{0}\dot{\mathbf{x}}}{\sqrt{1-\frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}}$

• Bei relativistischer Bewegung einer Punktladung q mit Ruhemasse m₀ im elektromagnetischen Feld

$L = -m_{0}c^{2}\sqrt{1-\frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}\,-\, q\, \phi(t, \mathbf x) + q\, \dot{\mathbf x} \cdot \mathbf A(t, \mathbf x)$

hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des Feldes

$\mathbf{p}=\frac{m_{0}\dot{\mathbf{x}}}{\sqrt{1-\frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}}+q\,\mathbf{A}(\mathbf{x},t)$

Literatur

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7 Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.