Klassische Mechanik

Das mathematische Pendel - ein typischer Anwendungsfall der klassischen Mechanik

Die klassische Mechanik ist ein Teilgebiet der Physik, das bis zum Ende des 19. Jahrhunderts weitgehend vollständig ausgearbeitet wurde und sich vorwiegend mit der Bewegung von Körpern befasst. Die klassische Mechanik diente als Ausgangspunkt der Entwicklung moderner physikalischer Theorien wie der Relativitätstheorie und der Quantenmechanik, deren Entwicklung aufgrund experimenteller Ergebnisse, die nicht mit den Konzepten der klassischen Mechanik vereinbar waren, notwendig wurde. Die klassische Mechanik ermöglicht dennoch sehr genaue Vorhersagen und Beschreibungen physikalischer Vorgänge, bei denen relativistische und quantenmechanische Effekte vernachlässigt werden können. Typische moderne Anwendungsgebiete der klassischen Mechanik sind Aerodynamik, Statik, Bio- und Polymerphysik.

Geschichte

Erste mathematischen Ansätze zur Beschreibung der Mechanik von Körpern lassen sich bis in die Antike zurückverfolgen. Archimedes kannte bereits das Hebelgesetz. Weitere Entwicklungen der Theorie folgten unter Anderem durch Himmelsbeobachtungen und neuen Vorstellungen zum Weltbild von Nikolaus Kopernikus, Johannes Kepler und Galileo Galilei. Die Verallgemeinerung auf allgemeine mathematische Konzepte geht jedoch auf Isaac Newton zurück, der eigens dafür die Infinitesimalrechnung entwickelt hat (unabhängig von Gottfried Wilhelm Leibniz, der eine äquivalente Formulierung für die Mathematik entwickelt hat). Weitere wichtige Beiträge folgten durch Joseph-Louis de Lagrange mit dem Lagrange-Formalismus und William Rowan Hamilton mit der hamiltonschen Mechanik. Mit diesen Theorien konnten physikalische Vorgänge, wie die Bewegung von Pendeln, Planetenbahnen, starren Körpern und Körpern im freien Fall erstmals vollständig beschrieben werden.

Formulierungen

In der klassischen Mechanik existieren drei mathematische Modelle, die zur Beschreibung von physikalischen Vorgängen genutzt werden. Diese bauen aufeinander auf und stellen jeweils eine Weiterentwicklung oder Verallgemeinerung dar. Jede dieser Formulierungen basiert auf dem Ziel, sogenannte Bewegungsgleichungen zu finden. Bewegungsgleichungen sind Differentialgleichungen, deren Lösung den Ort und die Geschwindigkeit einer Masse zu jeder Zeit festlegt.

Newtonsche Gesetze

→ Hauptartikel: Newtonsche Gesetze

Die Newtonschen Gesetze gelten als die Grundlage der klassischen Mechanik, auf der alle weiteren Modelle basieren. Zentrales Konzept dieser Formulierung ist die Einführungen von Kräften, die eine Beschleunigung $\ddot{\vec x}$ einer Masse m hervorrufen. Die Bewegungsgleichung dieser Masse wird bestimmt durch die Überlagerung der Kräfte $\vec F_i$, die auf die Masse wirken:

$m \ddot{\vec x} = \sum_{i = 1}^{N}{\vec F_i}$

Lagrange-Formalismus

→ Hauptartikel: Lagrange-Formalismus

Der Lagrange-Formalismus beschreibt die Gesetze der klassischen Mechanik durch die Lagrangefunktion L, die für Systeme mit einem generalisierten Potential und holonomen Zwangsbedingungen als Differenz aus kinetischer Energie T und potentieller Energie V gegeben ist:

L = T − V

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich durch Anwenden der Euler-Lagrange-Gleichungen, die die Ableitungen nach der Zeit t, den Geschwindigkeiten $\dot q_i$ und den generalisierten Koordinaten q_i miteinander in Verbindung setzt:

$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial{L}}{\partial q_i}$

Hamiltonsche Mechanik

→ Hauptartikel: Hamiltonsche Mechanik

Die Hamiltonsche Mechanik ist die am stärksten verallgemeinerte Formulierung der klassischen Mechanik und Ausgangspunkt der Entwicklung neuerer Theorien und Modelle, wie der Quantenmechanik. Zentrale Gleichung dieser Formulierung ist die Hamilton-Funktion H. Sie ist folgendermaßen definiert:

$H=\sum\limits_i\dot q_ip_i-L(\vec q,\dot{\vec q},t)$

Dabei sind $\dot q_i$ die generalisierten Geschwindigkeiten und p_i die generalisierten Impulse. Ist die potentielle Energie unabhängig von der Geschwindigkeit und hängen die Transformations-Gleichungen, die die generalisierten Koordinaten definieren, nicht von der Zeit ab, ist die Hamilton-Funktion in der klassischen Mechanik durch die Summe aus kinetischer Energie T und potentieller Energie V gegeben^[1]:

H = T + V

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich durch Anwenden der kanonischen Gleichungen:

$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$

$\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$

Mit dem Hamilton-Jacobi-Formalismus existiert eine modifizierte Form dieser Beschreibung, die die Hamilton-Funktion mit der Wirkung verknüpft.

Grenzen

Viele alltägliche Phänomene werden durch die klassische Mechanik ausreichend genau beschrieben. Es gibt aber Phänomene, die mit der klassischen Mechanik nicht mehr erklärt oder nicht mehr in Einklang gebracht werden können. In diesen Fällen wird die klassische Mechanik durch genauere Theorien ersetzt, wie z. B. durch die spezielle Relativitätstheorie oder die Quantenmechanik. Diese Theorien enthalten die klassische Mechanik als Grenzfall. Bekannte klassisch nicht erklärbare Effekte sind Photoeffekt, Comptonstreuung, Hohlraumstrahler.

Das Verhältnis zur Relativitätstheorie

Anders als in der Relativitätstheorie gibt es in der klassischen Mechanik keine Maximalgeschwindigkeit, mit der sich Signale ausbreiten können. So ist es in einem klassischen Universum möglich, alle Uhren mit einem unendlich schnellen Signal zu synchronisieren. Dadurch ist eine absolute, in jedem Inertialsystem gültige Zeit denkbar.

In der Relativitätstheorie ist die größte Signalgeschwindigkeit gleich der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit. Unter der Annahme, dass zur Messung physikalischer Vorgänge benötigte Uhren perfekt synchronisiert werden können, lässt sich nun der Geltungsbereich der klassischen Mechanik gegenüber der Relativitätstheorie bestimmen. Die Annahme über die Synchronisierbarkeit gilt nämlich genau dann, wenn die zu messende Geschwindigkeit v im Vergleich zur (maximalen) Signalgeschwindigkeit c, mit der die Uhren synchronisiert werden, klein ist, d. h. $v \ll c$.

Das Verhältnis zur Quantenmechanik

Im Gegensatz zu der Quantenmechanik lassen sich Massenpunkte mit identischen Observablen (Masse, Ort, Impuls) unterscheiden, während man in der Quantenmechanik von ununterscheidbaren Entitäten ausgeht. Das bedingt, dass klassische Körper in dem Sinne makroskopisch sein müssen, dass sie individuelle Eigenschaften besitzen, die sie unterscheidbar machen. Somit lassen sich z. B. Elementarteilchen einer Familie nicht als klassische Massenpunkte auffassen. Die Unterscheidbarkeit eines klassischen Teilchens rührt daher, dass es, wenn es sich selbst überlassen wird, in seinem vorherigen Inertialsystem verharrt. Dies ist für ein quantenmechanisch beschriebenes Teilchen nicht der Fall, da ein sich selbst überlassenes Teilchen nicht zwangsweise in seinem Inertialsystem verharrt. Diese Tatsache kann man in der Quantenmechanik herleiten, in dem man das Schrödinger-Anfangswertproblem für die Wellenfunktion eines Teilchens löst, dessen Aufenthaltswahrscheinlichkeit zu einem Zeitpunkt t = 0 genau an einem Ort lokalisiert ist (ein so genannter δ-Peak). Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit beginnt mit zunehmender Zeit zu zerlaufen. Der physikalische Grund dafür ist, dass die (exakte) Messung des Ortes eines mikroskopischen Teilchens ein Eingreifen in das physikalische System bedeutet.

Weiterführendes

 Wikibooks: Formelsammlung Mechanik – Lern- und Lehrmaterialien

Die klassische Mechanik wird in vielen ein- und weiterführenden Lehrbüchern der Physik behandelt.

• Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden: Foundations of Mechanics. Addison-Wesley, ISBN 0-201-40840-6.
• Torsten Fließbach: Mechanik. 5 Auflage. Spektrum, 2007, ISBN 978-3-8274-1683-4.
• Herbert Goldstein, Charles. P. Poole, John Safko: Klassische Mechanik. Wiley-VCH, ISBN 3-527-40589-5.

Einzelnachweise

1. ↑ Herbert Goldstein: 'Klassische Mechanik'. Frankfurt 1963, S.244, ISBN 3-400-00133-1