Geränderte Hesse-Matrix

Die geränderte Hesse-Matrix dient zur Klassifikation von stationären Punkten bei mehrdimensionalen Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen. Sie ist mit der "normalen" Hesse-Matrix verwandt. Im Gegensatz zur Hesse-Matrix, welche auf positive bzw. negative Definitheit untersucht wird, ist bei der geränderten Hesse-Matrix das Vorzeichen der Determinante entscheidend.

Form (2-dimensionaler Fall)

Für eine zweidimensionale Funktion mit einer Nebenbedingung hat die geränderte Hesse-Matrix folgende Gestalt. Sei L(x₁,x₂) = f(x₁,x₂) − λg(x₁,x₂) die Lagrangefunktion, wobei $f:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R, (x_1,x_2)\mapsto f(x_1,x_2)$ eine beliebige zweidimensionale Funktion und $g(x_1,x_2) = 0\,$ die Nebenbedingung ist, unter welcher optimiert werden soll.

$\operatorname{\bar{H}}(x)= \begin{pmatrix} 0&g_{x1}&g_{x2}\\ g_{x1}&L_{x1x1}&L_{x1x2}\\ g_{x2}&L_{x2x1}&L_{x2x2}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&\frac{\partial g}{\partial x_1}&\frac{\partial g}{\partial x_2}\\ \frac{\partial g}{\partial x_1}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_1^2}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_1\partial x_2}\\ \frac{\partial g}{\partial x_2}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_2\partial x_1}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_2^2}\\ \end{pmatrix}$

Eine stationäre Stelle x₀ von f ist dann unter der Nebenbedingung g

• lokales Maximum, wenn die Determinante $|\bar{H}(x_0)|>0$
• lokales Minimum, wenn die Determinante $|\bar{H}(x_0)|<0$
• unentscheidbar, wenn die Determinante $|\bar{H}(x_0)|=0$

Weblinks

• Geränderte Hesse-Matrix DSM Universität Wien