Gleichgradig stetig

Die gleichgradige Stetigkeit ist ein Begriff aus der Analysis und erweitert den Begriff der Stetigkeit einer Funktion auf spezielle Weise auf Funktionenscharen. Der Begriff findet Anwendung beim Satz von Arzelà-Ascoli.

Definition

Seien (X,d_X) und (Y,d_Y) metrische Räume sowie F eine der Menge von Funktionen, die X auf Y abbilden. Die Funktionenfamilie F heißt gleichgradig stetig im Punkt $x\in X$, wenn gilt:

$\forall \varepsilon>0\, \exists \delta>0\, \forall f\in F:\ d_X(x,x') \le \delta \Rightarrow d_Y\left(f(x), f(x')\right) \le \varepsilon.$

Die Familie F heißt gleichgradig stetig, wenn sie in jedem Punkt $x \in X$ gleichgradig stetig ist.

Jede Funktion in einer gleichgradig stetigen Familie von Funktionen ist insbesondere stetig.

Im Falle, dass die Funktionenfamilie F nur stetig wäre, könnte δ für jede Funktion der Familie einen anderen Wert haben. „Stetigkeit gleichen Grades“ heißt also, dass die Schwankung der Funktionswerte durch dieselbe Zahl beschränkt ist.

Siehe auch

• gleichgradige Stetigkeit im Glossar.
• gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit