Graduierung (Algebra)

Unter Graduierung versteht man im mathematischen Teilgebiet der Algebra die Zerlegung einer abelschen Gruppe oder komplizierterer Objekte in Teile eines bestimmten Grades. Das namengebende Beispiel ist der Polynomring in einer Unbestimmten: Beispielsweise ist das Polynom X³ + 3X + 5 Summe der Monome X³ (Grad 3), 3X (Grad 1) und 5 (Grad 0). Umgekehrt kann man endlich viele Monome verschiedenen Grades vorgeben und erhält als Summe ein Polynom.

Es sei durchweg Γ eine feste abelsche Gruppe. Typischerweise ist $\Gamma=\mathbb Z$ oder $\Gamma=\mathbb Z/2\mathbb Z$.

Graduierte Vektorräume

Es sei K ein Körper. Eine Γ-Graduierung auf einem K-Vektorraum V ist ein System $(V_\gamma)_{\gamma\in\Gamma}$ von Untervektorräumen, so dass V die direkte Summe der V_γ ist:

$V=\bigoplus_{\gamma\in\Gamma}V_\gamma$

Die Vektorräume V_γ heißen die graduierten Bestandteile von V.

Elemente von V_γ heißen homogen vom Grad γ. Jedes Element v von V kann genau auf eine Weise als Summe homogener Elemente verschiedenen Grades geschrieben werden; sie heißen die homogenen Bestandteile (oder Komponenten) von v.

Graduierte abelsche Gruppen und R-Moduln für (gewöhnliche, nicht graduierte) Ringe R sind analog definiert.

Ist $\Gamma=\mathbb Z$, so spricht man häufig nicht explizit von einer $\mathbb Z$-Graduierung, sondern schlicht von einer Graduierung.

Graduierte Algebren

Es sei K ein Körper. Eine Γ-Graduierung auf einer K-Algebra A ist eine Γ-Graduierung auf A als K-Vektorraum, für die

$A_\gamma\cdot A_\delta\subseteq A_{\gamma+\delta}$

für $\gamma,\delta\in\Gamma$, d.h.

$a_\gamma a_\delta\in A_{\gamma+\delta}$ für $a_\gamma\in A_\gamma,a_\delta\in A_\delta$

gilt.

Graduierte Algebren über kommutativen Ringen und graduierte Ringe sind analog definiert.

Graduierte Moduln

Es sei K ein Körper und A eine Γ-graduierte K-Algebra. Ein graduierter Modul M über A ist ein A-Modul mit einer Γ-Graduierung als K-Vektorraum, so dass

$A_\gamma\cdot M_\delta\subseteq M_{\gamma+\delta}$

für $\gamma,\delta\in\Gamma$ gilt.

(Die Bedingung oben bezieht sich auf den Fall von Linksmoduln. Graduierte Rechtsmoduln sind analog definiert.)

Graduierte Moduln über graduierten Ringen oder graduierten Algebren über kommutativen Ringen sind analog definiert.

Beispiele

• Der Polynomring $A=K[X_1,\ldots,X_n]$ in n Unbestimmten über einem Körper K ist durch den Gesamtgrad graduiert:

$A=\bigoplus_{d\in\mathbb Z}A_d,\quad A_d=\langle X_1^{e_1}\cdots X_n^{e_n}\mid e_1+\ldots+e_n=d\rangle_K.$

(Offenbar ist A_d = 0 für d < 0.)

Es gibt aber noch andere Graduierungen auf A: Es seien $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ positive ganze Zahlen. Dann ist durch

$A=\bigoplus_{d\in\mathbb Z}\tilde A_d,\quad\tilde A_d=\langle X_1^{e_1}\cdots X_n^{e_n}\mid \lambda_1e_1+\ldots+\lambda_ne_n=d\rangle_K$

ebenfalls eine Graduierung von A definiert, bei der jedoch das Monom X_i Grad λ_i hat.

• Tensoralgebra, symmetrische Algebra und äußere Algebra sind graduierte Algebren.
• Ist A ein (kommutativer) noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mathfrak m$ und Restklassenkörper $k=A/\mathfrak m$, so ist

$\operatorname{gr}A=\bigoplus_{n\geq0}\mathfrak m^n/\mathfrak m^{n+1}$

eine endlich erzeugte graduierte k-Algebra.

Ist beispielsweise $A=\mathbb Z_p$ für eine Primzahl p, so ist $\operatorname{gr}A\cong\mathbb F_p[T]$.

Literatur

• Serge Lang: Algebra. Revised 3rd Edition, Springer-Verlag, 2002, ISBN 0-387-95385-X