Gruppoid (Kategorientheorie)
- Gruppoid (Kategorientheorie)
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In der mathematischen Kategorientheorie ist ein Gruppoid eine Kategorie, in der jeder Pfeil ein Isomorphismus ist.
Anwendung und Beispiele
- In der algebraischen Topologie wird das Fundamentalgruppoid zu einem topologischen Raum X assoziiert. Die Objekte des Gruppoids sind die Punkte von X. Die Pfeile sind die Homotopieklassen (relativ Anfangs- und Endpunkt) von stetigen Abbildung
![f:[0,1]\longrightarrow X](5/bd50b285bad46cb38cdfaf712a593b3c.png)
, wobei der Anfangspunkt f(0) die Quelle ist und der Endpunkt f(1) das Ziel. Siehe hierzu auch den Artikel Fundamentalgruppe. Wie in diesem Fall tragen Gruppoide oft zusätzliche Strukturen wie eine Topologie auf der Menge der Objekte und Pfeile.
- In der Kristallographie werden Gruppoide zur Beschreibung der Symmetrie von polytypen Strukturen verwendet.
- Jede Gruppe ist ein Gruppoid mit einem Objekt und den Gruppenelementen als Pfeilen.
- Betrachten wir eine beliebige Kategorie und entfernen alle Pfeile, die keine Isomorphismen sind, erhalten wir ein Gruppoid.
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