Halbschrittverfahren

Das Heun-Verfahren, benannt nach Karl Heun, ist ein einfaches Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertaufgaben. Es ist ein Einschrittverfahren und gehört zu der Klasse der Runge-Kutta-Verfahren.

Im Gegensatz zum Expliziten Euler-Verfahren erfolgt die Näherung über ein Trapez und nicht über ein Rechteck.

Verfahren

Zur numerischen Lösung des Anfangswert-Problems:

$\dot{x}=f(t,x), \quad \quad x(t_0)=x_0$

für eine gewöhnliche Differentialgleichung mit dem Verfahren von Heun wähle man eine Diskretisierungs-Schrittweite h > 0, betrachte die diskreten Zeitpunkte

$t_k=t_0+kh, \quad \quad k=1,2,\dots$

und berechne zunächst analog zum expliziten Euler-Verfahren

$x^{[P]}_{k+1}=x_k+hf(t_k,x_k) \quad,\quad k=0,1,2,\dots$

und dann

$x_{k+1}=x_k+\frac{1}{2}h(f(t_k,x_k)+f(t_{k+1},x^{[P]}_{k+1})) \quad,\quad k=0,1,2,\dots$

was sich umformen lässt zu

$x_{k+1}=\frac{1}{2} x_k+ \frac{1}{2} (x_{k+1}^{[P]} + h f(t_{k+1},x^{[P]}_{k+1})) \quad,\quad k=0,1,2,\dots$

Die x_i sind die Näherungswerte der tatsächlichen Lösungsfunktion x(t) zu den Zeitpunkten t_i.

h bezeichnet man als Schrittweite. Verkleinert man die Schrittweite, so wird der Verfahrensfehler kleiner (sprich: die x_i liegen näher am tatsächlichen Funktionswert x(t_i)). Der globale Fehler des Verfahren von Heun geht mit h² gegen Null; man spricht auch von Konvergenzordnung 2.

Ähnliche Einschrittverfahren

• Explizites Euler-Verfahren (Eulersches Polygonzugverfahren)
• Implizites Euler-Verfahren
• Runge-Kutta-Verfahren
• Klassisches Runge-Kutta-Verfahren

Weblinks