Hausdorff-Maß

Zur Bestimmung des Flächeninhalts einer m-dimensionalen Fläche im n-dimensionalen Raum $\R^n$ (mit m < n) gibt es in der Maßtheorie diverse Maße, die für alle Teilmengen des $\R^n$ definiert sind und auf den „anständigen“ (nicht entarteten) m-dimensionalen Flächen deren heuristischen Flächeninhalt ergeben. (Zu den „anständigen“ Flächen gehören insbesondere die Untermannigfaltigkeiten des $\R^n$.)

Das bekannteste dieser Maße ist das m-dimensionale Hausdorff-Maß $\mathcal H^m$, benannt nach Felix Hausdorff; zur Veranschaulichung der Definition soll zunächst jedoch das m-dimensionale sphärische Maß $\mathcal S^m$ erläutert werden.

Definition des sphärischen Maßes

Zu einer Teilmenge A des $\R^n$ betrachtet man die Größen

$\mathcal S^m_\varepsilon(A)=\inf\left\{\sum_{i=1}^\infty \alpha(m)\left(\frac12{\rm diam}(B_i)\right)^m\right|\left.A\subset\bigcup_{i=1}^\infty B_i;\;B_i\mbox{ Kugel im }\R^n;\; {\rm diam}(B_i)<\varepsilon\right\}$

für ε > 0, wobei das Infimum erstreckt wird über alle Überdeckungen $(B_i)_{i\in\N}$ von A durch abzählbar viele m-dimensionale Kugeln B₁,B₂,... im $\R^n$ mit Durchmessern (Diametern) ${\rm diam}(B_i)<\epsilon$. Hierbei ist α(m) das Volumen der m-dimensionalen Einheitskugel (Kugel mit Radius 1) im $\R^m$, gleichbedeutend mit dem m-dimensionalen Flächeninhalt des m-dimensionalen Einheitskreises im $\R^n$. Der Formfaktor α(m) sorgt für die richtige „Normierung“ des resultierenden Flächenmaßes. Die Summanden α(m)(diam(B_i) / 2)^m sind gerade die m-dimensionalen Flächeninhalte der Schnittmengen der Kugeln B_i mit durch deren Mittelpunkt verlaufenden m-dimensionalen Ebenen im $\R^n$.

Das m-dimensionale sphärische Maß von A wird dann, vermöge zunehmender Kleinheit der Kugeln, definiert durch

$\mathcal S^m(A)=\lim_{\varepsilon\to0}\mathcal S^m_\varepsilon(A).$

Die Verfeinerung der Kugelüberdeckungen durch gegen 0 gehende Durchmesser bewirkt eine zunehmende Annäherung der m-dimensionalen Äquatorialflächen der Kugeln an die Ausgangsfläche A.

Definition des Hausdorff-Maßes

Zur Definition des Hausdorff-Maßes $\mathcal H^m$ gelangt man, wenn statt der Kugeln alle Teilmengen des $\R^n$ bei den Überdeckungen zugelassen werden. Der Durchmesser von $B\subset\R^m$ ist definiert durch

${\rm diam}(B)=\sup\,\{|x-y|:x,y\in B\}$

für $B\ne\O$ und ${\rm diam}(\O)=0$, und man setzt entsprechend

$\mathcal H^m_\varepsilon(A)=\inf\left\{\sum_{i=1}^\infty \alpha(m)\left(\frac12{\rm diam}(B_i)\right)^m\right|\left.A\subset\bigcup_{i=1}^\infty B_i;\;B_i\subset\R^n;\; {\rm diam}(B_i)<\varepsilon\right\},$

wobei hier das Infimum gebildet wird über alle Überdeckungen $(B_i)_{i\in\N}$ von A durch abzählbar viele (beliebige) Teilmengen B₁,B₂,... des $\R^n$ mit ${\rm diam}(B_i)<\epsilon$. Schließlich definiert man

$\mathcal H^m(A)=\lim_{\varepsilon\to0}\mathcal H^m_\varepsilon(A).$

Die Ausdrücke $\mathcal S^m_\varepsilon$ und $\mathcal H^m_\varepsilon$ sind selbst äußere Maße und haben durchaus bei gewissen Mengen verschiedene Werte - der Unterschied verschwindet in einigen „pathologischen“ Fällen auch nicht beim Grenzübergang $\epsilon$ gegen 0 - jedoch liefern die beiden Maße $\mathcal S^m$ und $\mathcal H^m$ bei den rektifizierbaren (den „anständigen“) m-dimensionalen Mengen denselben Wert. Allgemein gilt die Ungleichung

$\mathcal H^m\le \mathcal S^m\le[2n/(n+1)]^{m/2}\mathcal H^m.$

Zusammenhang mit der Flächenformel

Zur expliziten Berechnung des Hausdorff-Maßes einer parametrisierten Fläche A = f(G) mit einem Gebiet $G\subset\mathbb R^m$ und einer injektiven differenzierbaren Funktion $f:G\to\mathbb R^n$ findet die Flächenformel Anwendung:

$\mathcal H^m(A)=\int_G\sqrt{\det(Df\,^tDf)}\,d\mathcal L^m.$

Dabei ist $\sqrt{\det(Df\,^tDf)}$ die verallgemeinerte Jacobi-Determinante von f, und $\mathcal L^m$ bezeichnet das m-dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im $\R^m$.

Verallgemeinerungen

(1) Analog verwendet man für „nicht-ganzzahlige Dimensionen“ m die obigen Definitionen von $\mathcal S^m$ und $\mathcal H^m$, hier α(m) = Γ(1 / 2)^m / Γ(1 + m / 2) mit der Gamma-Funktion Γ für irrationales m. Die Hausdorff-Dimension einer Teilmenge A des $\R^n$ ist dann diejenige (eindeutig bestimmte) Zahl m mit $\mathcal H^s(A)=\infty$ für alle s < m und $\mathcal H^s(A)=0$ für alle s > m. Wegen der oben genannten Ungleichung spielt der Unterschied zwischen $\mathcal H^m$ und $\mathcal S^m$ bei der Bestimmung der Hausdorff-Dimension keine Rolle.

In den letzten Dekaden kamen Fraktale in den Blickpunkt von populärwissenschaftlichen Medien. Fraktale sind Teilmengen des $\R^n$ mit gebrochener („fraktaler“) Hausdorff-Dimension; in der Öffentlichkeit werden Fraktale überwiegend als Mengen wahrgenommen, die sich neben ihrer fraktalen Dimension noch durch gewisse Selbstähnlichkeiten auszeichnen.

(2) Die Definition des m-dimensionalen Hausdorff-Maßes bleibt ohne wesentliche Veränderungen gültig in jedem metrischen Raum anstelle des $\R^n$; das gleiche gilt für das m-dimensionale sphärische Maß. (Es wird nur die Betragsfunktion in der Definition des Diameters durch die zugrundeliegende Metrik d ersetzt, genauer: aus | x − y | wird d(x,y).)

Literatur

• Herbert Federer: Geometric Measure Theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 153, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1969