Flächenformel

Unter der Flächenformel versteht man eine Integrationsregel für die Berechnung von Flächeninhalten m-dimensionaler Flächen im $\R^n$ ($m \le n$). Hierbei wird vorausgesetzt, dass die m-dimensionale Fläche $A \subset \R^n$ parametrisiert ist, d. h., es gibt eine auf einem Gebiet $G \subset \R^m$ definierte injektive differenzierbare Abbildung $f \colon G \to \R^n$ und eine messbare Teilmenge $B \subset G$, so dass A das Bild von B unter der Abbildung f ist: A = f(B).

Dann gilt:

$H^m(A)=\int_B\sqrt{\det(Df^T\,Df)}\,dL^m,$

Dabei ist H^m(A) das m-dimensionale Hausdorff-Maß (der m-dimensionale Flächeninhalt) von A und L^m das m-dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im $\R^m$. Der Integrand wird die verallgemeinerte Jacobi-Determinante von f genannt; Df ist die Ableitung (Funktionalmatrix) von f und Df ^T deren Transponierte.

Eine allgemeinere Formulierung der Flächenformel lautet

$\int_A g\,dH^m=\int_B (g\circ f)\sqrt{\det(Df^T\,Df)}\,dL^m$

und liefert den Wert des Integrals einer auf der Fläche A definierten Funktion g nach dem Hausdorff-Maß H^m.

Als Voraussetzungen für diese Formeln sind L^m-Messbarkeit von B und H^m-Messbarkeit von g zu nennen, was allerdings keine wesentliche Einschränkung bedeutet, da alle in der Praxis vorkommenden Mengen bzw. Funktionen diese Eigenschaft besitzen.

Beide Formeln gelten in dieser Form nur, wenn die Abbildung f (bis auf eine Nullmenge) injektiv ist, denn auf der linken Seite wird jeder Bildpunkt nur einmal gerechnet, auf der rechten aber jeder Urbildpunkt.

Die Voraussetzung, dass die Funktion f differenzierbar ist kann abgeschwächt werden. Es genügt, wenn sie lipschitz-stetig ist; dann ist sie automatisch fast überall differenzierbar.

Im Spezialfall m = n ergibt die Flächenformel die Transformationsformel aus der Maß- und Integrationstheorie.

Literatur

• Herbert Federer: Geometric measure theory. 1 Auflage. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-60656-4.