Flächeninhalt

Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Bitte hilf mit, die Mängel dieses Artikels zu beseitigen, und beteilige dich bitte an der Diskussion!

Physikalische Größe
Name	Flächeninhalt Oberfläche Querschnittsfläche
Formelzeichen der Größe	A, selten F, S, Q
Abgeleitet von	Länge
Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI Quadratmeter (m2) L2 CGS Quadratzentimeter (cm2) L2 Planck Planck-Fläche ħ·G·c-3 Anglo- amerikanisch acre, sq.in., sq.ft., sq.yd., sq.mi., … L2

Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe einer Fläche. Unter Fläche versteht man dabei gewisse zweidimensionale Gebilde, darunter die üblichen Figuren der ebenen Geometrie wie Rechtecke, Polygone, Kreise, aber auch Begrenzungsflächen dreidimensionaler Körper wie Quader, Kugel, Zylinder usw. Für viele Anwendungen genügen diese Flächen bereits, komplexere Flächen lassen sich oft aus diesen zusammensetzen oder durch diese annähern.

Der Flächeninhalt ist normiert in dem Sinne, dass das Einheitsquadrat, das heißt das Quadrat mit Seitenlänge 1, den Flächeninhalt 1 hat. Um Flächen durch ihren Flächeninhalt vergleichbar zu machen, muss man fordern, dass kongruente Flächen denselben Flächeninhalt haben und dass sich der Flächeninhalt zusammengesetzter Flächen als Summe der Inhalte der Teilflächen ergibt.

Damit ist der Flächeninhalt auch eine im physikalischen Sinne messbare Größe und er spielt in der Definition vieler physikalischer Größen eine wichtige Rolle. So ist etwa Druck als Kraft pro Fläche definiert oder das magnetische Moment einer Leiterschleife als Strom mal umflossene Fläche. Zur Messung derartiger Größen sind daher auch Flächen auszumessen. In der Regel geschieht dies nicht direkt. Zur Messung des Flächeninhalts eines Rechtecks oder einer Kugeloberfläche misst man üblicherweise die Seitenlängen des Rechtecks bzw. den Radius der Kugel und erhält den gewünschten Flächeninhalt mittels geometrischer Formeln, wie sie unten aufgelistet werden.

Flächeninhalte einiger geometrischer Figuren

Drei bekannte Figuren aus der ebenen Geometrie auf kariertem Hintergrund

In nachfolgender Tabelle sind einige bekannte Figuren aus der ebenen Geometrie zusammen mit Formeln zur Berechnung ihres Flächeninhaltes aufgelistet.

Figur/Objekt	Bezeichnungen	Flächeninhalt A
Quadrat	Seitenlänge a	A = a2
Rechteck	Seitenlängen $a,\,b$	$A = a \cdot b$
Dreieck (siehe auch: Dreiecksfläche)	Grundseite g, Höhe h, rechtwinklig zu g	$A = \frac{g \cdot h}{2}$
Trapez	zueinander parallele Seiten $a,\,c$, Höhe h, rechtwinklig zu a und c	$A = \frac{a + c}{2} \cdot h$
Raute	Diagonalen d1 und d2	$A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$
Parallelogramm	Seitenlänge a, Höhe ha, rechtwinklig zu a	$A = a \cdot h_a$
Kreis	Radius r	A = πr2
Ellipse	Große und kleine Halbachsen a bzw. b	A = πab
reguläres Sechseck	Seitenlänge a	$A = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

Zur Ermittlung des Flächeninhaltes eines Polygons kann man dieses triangulieren, das heißt durch Ziehen von Diagonalen in Dreiecke zerlegen, und dann die Flächeninhalte der Dreiecke ermitteln und schließlich aufaddieren. Sind die Koordinaten $(x_i, y_i), i=1 \dots n$ der n Eckpunkte des Poygons in einem kartesischen Koordinatensystem bekannt, kann die Fläche mit der Gaußschen Trapezformel berechnet werden:

$A = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (y_i + y_{i+1})(x_i-x_{i+1})$.

Dabei ist x_{n + j} = x_j und y_{n + j} = y_j. Die Summe ist positiv, wenn die Eckpunkte entsprechend dem Drehsinn des Koordinatensystems durchlaufen werden. Eventuell ist bei negativen Ergebnissen der Betrag zu wählen. Speziell für polygonale Flächen mit Gitterpunkten als Ecken lässt sich der Satz von Pick anwenden. Andere Flächen lassen sich in der Regel leicht durch Polygone approximieren, so dass man leicht an einen Näherungswert kommen kann.

Berechnung einiger Oberflächen

Tetraeder

gerader Kegel mit abgewickelter Mantelfläche

Hier werden exemplarisch einige typische Formeln zur Berechnung von Oberflächen zusammengestellt:

Figur/Objekt	Bezeichnungen	Oberfläche A
Würfel	Seitenlänge a	A = 6a2
Quader	Seitenlängen $a,\,b,\,c$	A = 2(ab + ac + bc)
Tetraeder	Seitenlänge a	$A = \sqrt{3}\,a^2$
Kugel (siehe auch: Kugeloberfläche)	Radius r	A = 4πr2
Zylinder	Grundflächenradius r, Höhe h	A = 2πr(r + h)
Kegel	Grundflächenradius r, Höhe h	$A = \pi r (r + \sqrt{r^2+h^2})$
Torus	Ringradius R, Querschnittsradius r	$A = 4\pi^2 \cdot R \cdot r$

Ein typisches Vorgehen zur Ermittlung solcher Oberflächen ist das sogenannte "Abrollen" oder "Abwickeln" in der Ebene, das heißt man versucht, die Oberfläche derart in die Ebene abzubilden, dass der Flächeninhalt dabei erhalten bleibt, und ermittelt dann den Flächeninhalt der so entstandenen ebenen Figur. Das gelingt aber nicht bei allen Oberflächen, wie das Beispiel der Kugel zeigt. Zur Ermittlung derartiger Oberflächen werden Methoden der Analysis verwendet, beim Beispiel der Kugel kann man etwa Rotationsflächen einsetzen. Oft führt auch die erste Guldinsche Regel zu einem raschen Erfolg, zum Beispiel beim Torus.

Integralrechnung

→ Hauptartikel: Integralrechnung

Die Fläche unter der Kurve von a bis b wird durch Rechtecke approximiert.

Die Integralrechnung wurde unter anderem zur Ermittlung von Flächeninhalten unter Kurven, das heißt unter Funktionsgraphen, entwickelt. Die Idee besteht darin, die Fläche zwischen Kurve und x-Achse durch eine Reihe schmaler Rechtecke zu approximieren und dann die Breite dieser Rechtecke in einem Grenzprozess gegen 0 gehen zu lassen. Die Konvergenz dieses Grenzübergangs hängt von der verwendeten Kurve ab. Betrachtet man einen beschränkten Bereich, etwa die Kurve über einem beschränkten Intervall [a,b] wie in nebenstehender Zeichnung, so zeigen Sätze der Analysis, dass die Stetigkeit der Kurve bereits ausreicht, um die Konvergenz des Grenzprozesses zu sichern. Dabei tritt das Phänomen auf, dass Flächen unterhalb der x-Achse negativ werden, was bei der Bestimmung von Flächeninhalten unerwünscht sein kann. Will man dies vermeiden, muss man zum Betrag der Funktion übergehen.

Gaußsche Glockenkurve

Will man auch die Intervallgrenzen $-\infty$ und $+\infty$ zulassen, so ermittelt man zunächst die Flächen für endliche Grenzen a und b wie gerade beschrieben und lässt dann in einem weiteren Grenzprozess $a\to -\infty$, $b\to +\infty$ oder beides streben. Hier kann es vorkommen, dass dieser Grenzprozess nicht konvergiert, zum Beispiel bei oszillierenden Funktionen wie der Sinusfunktion. Beschränkt man sich auf Funktionen, die ihren Funktionsgraphen in der oberen Halbebene haben, so können diese Oszillationseffekte zwar nicht mehr auftreten, aber es kommt durchaus vor, dass der Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse unendlich wird. Da die Gesamtfläche eine unendliche Ausdehnung hat, ist das sogar ein plausibles und letztlich auch erwartetes Ergebnis. Wenn die Kurve sich allerdings für weit von 0 entfernte Stellen hinreichend schnell der x-Achse nähert, so kann das Phänomen eintreten, dass auch einer unendlich ausgedehnten Fläche ein endlicher Flächeninhalt zukommt. Ein bekanntes und für die Wahrscheinlichkeitstheorie wichtiges Beispiel ist die Fläche zwischen der gaußschen Glockenkurve

$f(x)=\tfrac {1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \mathrm{e}^{-\frac {1}{2} x^2}$

und der x-Achse. Obwohl die Fläche von $-\infty$ bis $+\infty$ reicht, ist der Flächeninhalt gleich 1.

Bei dem Versuch, weitere Flächen, etwa auch unter unstetigen Kurven, zu berechnen, stößt man schließlich auf die Frage, welchen Mengen in der Ebene denn überhaupt ein sinnvoller Flächeninhalt zukommen soll. Diese Frage erweist sich als schwierig, wie im Artikel zum Maßproblem ausgeführt wird. Es stellt sich heraus, dass der hier verwendete intuitive Flächeninhaltsbegriff nicht sinnvoll auf alle Teilmengen der Ebene ausgedehnt werden kann.

Differentialgeometrie

→ Hauptartikel: Oberflächenintegral

In der Differentialgeometrie wird der Flächeninhalt einer ebenen oder gekrümmten Fläche F mit den Koordinaten (u,v) als Flächenintegral berechnet:

$\iint_{F} \mathrm d\sigma$.

Dabei entspricht das Flächenelement dσ der Intervallbreite dx in der eindimensionalen Integralrechnung. Es gibt den Flächeninhalt des durch die Tangenten an die Koordinatenlinien aufgespannten Parallelogramms mit den Seitenlängen du und dv an. Das Flächenelement ist abhängig vom Koordinatensystem und der Gaußschen Krümmung der Fläche.

In kartesischen Koordinaten (x,y) ist das Flächenelement $\mathrm d\sigma=\mathrm d x \, \mathrm d y$. Auf der Kugeloberfläche mit dem Radius r und der Länge L sowie der Breite B als Koordinatenparametern gilt $\mathrm d\sigma=r^2 \cos B \, \mathrm d B \, \mathrm d L$. Für die Oberfläche einer Kugel ($\pi/2 \le B \le \pi/2, \pi \le L \le \pi$) erhält man damit den Flächeninhalt:

$A = r^2 \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos B \, \mathrm d B \, \mathrm d L = r^2 \int_{-\pi}^{\pi} \left[ \sin B \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} \, \mathrm d L = 2 r^2 \int_{-\pi}^{\pi} \mathrm d L = 4 \pi r^2$.

Zur Berechnung des Flächenelements ist es nicht zwingend erforderlich, die Lage einer räumlichen Fläche im Raum zu kennen. Das Flächenelement kann allein aus solchen Maßen abgeleitet werden, die innerhalb der Fläche gemessen werden können, und zählt damit zur inneren Geometrie der Fläche. Dies ist auch der Grund dafür, dass sich der Flächeninhalt einer (abwickelbaren) Fläche beim Abwickeln nicht ändert und damit durch Abwickeln in eine Ebene bestimmt werden kann.

Flächen in der Physik

Flächen treten naturgemäß auch in der Physik als zu messende Größe auf. Flächen werden in der Regel indirekt unter Verwendung obiger Formeln gemessen. Typische Größen, bei denen Flächen auftreten sind:

• Druck = Kraft pro Fläche
• Intensität = Energie pro Zeit und Fläche
• Magnetisches Moment einer Leiterschleife = Strom mal umflossene Fläche
• Oberflächenspannung = Zur Flächenvergrößerung geleistete Arbeit pro zusätzlich entstandene Fläche
• Oberflächenladungsdichte = Ladung pro Fläche
• Stromdichte = Strom pro durchflossene Fläche

Fläche als Vektor

Oft wird der Fläche auch eine Richtung, die senkrecht zur Fläche verläuft, zugewiesen, was die Fläche zu einem Vektor macht und ihr wegen der zwei möglichen Wahlen der senkrechten Richtung eine Orientierung verleiht. Die Länge des Vektors ist dabei ein Maß für den Flächeninhalt. Bei einem durch Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ begrenzten Parallelogramm ist dieser das Vektorprodukt

$\vec{a}\times\vec{b}.$

Handelt es sich um Oberflächen, so verwendet man in der Regel das Normalenvektorfeld, um der Oberfläche an jeder Stelle lokal eine Richtung zuweisen zu können. Dies führt zu Fluss-Größen, die man als Skalarprodukt aus betrachtetem Vektorfeld und Fläche (als Vektor) definiert. So errechnet sich der Strom I aus der Stromdichte $\vec{J}$ gemäß

$I=\int\limits_{A} \vec J\cdot\mathrm{d}\vec A,$

wobei im Integral das Skalarprodukt

$\vec J\cdot\mathrm{d}\vec A$

gebildet wird. Zur Auswertung derartiger Integrale sind Formeln zur Berechnung von Oberflächen hilfreich.

Es treten in der Physik daneben auch Flächengrößen auf, die tatsächlich experimentell bestimmt werden, etwa Streuquerschnitte. Hierbei geht man von der Vorstellung aus, ein Teilchenstrom treffe auf ein festes Zielobjekt, auf das sogenannte Target, und die Teilchen des Teilchenstroms treffen mit gewisser Wahrscheinlichkeit auf die Teilchen des Targets. Das makroskopisch gemessene Streuverhalten lässt dann Rückschlüsse auf die Querschnittsflächen zu, die die Targetteilchen den Stromteilchen entgegenhalten. Die so ermittelte Größe hat die Dimension einer Fläche. Da das Streuverhalten nicht nur von geometrischen Größen, sondern auch von anderen Wechselwirkungen der Streupartner untereinander abhängt, ist die gemessene Fläche nicht immer direkt mit dem geometrischen Querschnitt der Streupartner gleichzusetzen. Man spricht dann allgemeiner vom Wirkungsquerschnitt, der ebenfalls die Dimension einer Fläche hat.

Siehe auch

• Größenordnung (Fläche)
• Flächenmaß
• Grenzfläche
• Grundfläche
• Mantelfläche

Weblinks

 Wiktionary: Flächeninhalt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Umrechnung: Rundes Kabel, Draht und Leitung - Durchmesser in Kreis-Querschnitt und Querschnitt in Durchmesser
• Eric W. Weisstein: Area. In: MathWorld. (englisch)