Hotellings Lemma

Hotellings Lemma ist ebenso wie Shephards Lemma ein Sonderform des Umhüllungssatzes (engl. envelope theorem) in der Mikroökonomie.^[1] Benannt ist das Lemma nach dem US-amerikanischen Statistiker und Nationalökonomen Harold Hotelling. Hotellings Lemma besagt, dass die allgemeine Faktornachfragefunktion und die allgemeine Angebotsfunktion sich aus der Gewinnfunktion bestimmen lassen. Bei optimaler Produktion ergibt die partielle Ableitung der Gewinnfunktion nach dem Güterpreis die verkaufte Menge, während die partielle Ableitung nach dem jeweiligen Faktorpreis der (negative) Faktoreinsatz ist. In seinen Annahmen ging Hotelling davon aus, dass die Preise für die produzierten Güter vom Markt bestimmt werden, die Outputmenge aber vom Produzenten.

Mathematische Herleitung

Sei der Produzentengewinn in Abhängigkeit vom konsumierten Input

$\pi(x,w)=p \cdot y(p,w)- w \cdot l^d(p,w)\!\,$.

mit

• w = Marktlohn (alternativ kann hier jeder andere mögliche Inputfaktor eingesetzt werden)
• l^d = Arbeitsleistung (alternativ kann hier jeder andere mögliche Inputfaktor eingesetzt werden, dieser muss aber dann quantitativ in Beziehung zu dem unter w alternativ gewählten Faktor stehen)
• l^d(p,w) Arbeitsnachfrage (alternativ Inputnachfrage)
• π = Gewinn
• y(p,w) = Güternachfrage
• T(l^d) = Produktionsfunktion
• p = Marktpreis

Bestimmung der Produktionsmenge

Die erste Ableitung der Gewinnfunktion nach p ist

$\frac{\partial \pi(p,w)}{\partial p}=y(p,w) + p \cdot \frac{\partial y(p,w)}{\partial p} - w \cdot \frac{\partial l^d(p,w)}{\partial p}$

$\frac{\partial \pi(p,w)}{\partial p} =y(p,w) + p \cdot T'(l^d) \cdot \frac{\partial l^d(p,w)}{\partial p} - w \cdot \frac{\partial l^d(p,w)}{\partial p}$

bei optimaler Produktion gilt

$w=p \cdot T'(l^d)$

und somit

$\frac{\partial \pi(p,w)}{\partial p} =y(p,w) + \frac{\partial l^d(p,w)}{\partial p} \underbrace {[p \cdot T' (l^d) - w]}_{=0}$

daraus folgt

$\frac{\partial \pi(p,w)}{\partial p}= y(p,w)$

Bestimmung des (negativen) Faktoreinsatzes

Die erste Ableitung der Gewinnfunktion nach w ist

$\frac{\partial \pi(p,w)}{\partial w}=p \cdot \frac{\partial y(p,w)}{\partial w} - l^d(p,w) - w \cdot \frac{\partial l^d(p,w)}{\partial w}$

$\frac{\partial \pi(p,w)}{\partial w}=p \cdot T'(l^d) \frac{\partial l^d(p,w)}{\partial w} - l^d(p,w) - w \cdot \frac{\partial l^d(p,w)}{\partial w}$

bei optimaler Produktion gilt

$w=p \cdot T'(l^d)$

und somit

$\frac{\partial \pi(p,w)}{\partial w}= \frac{\partial l^d(p,w)}{\partial w} \cdot \underbrace {[p \cdot T'(l^d) - w]}_{=0} - l^d(p,w)$

daraus folgt

$\frac{\partial \pi(p,w)}{\partial w}= -l^d(p,w)$

Einzelnachweise

1. ↑ The Envelope Theorem: Edward R. Morey, "Shephard’s Lemma, Hotelling’s Lemma, etc." February 20, 2002

Literatur

• Hotelling, H. (1932). Edgeworth's taxation paradox and the nature of demand and supply function. In: Political Economy. 40, 577-616.