Alternierende Multilinearform
- Alternierende Multilinearform
-
Eine p-Multilinearform ω ist in der Mathematik eine Funktion, die p Argumenten
aus K-Vektorräumen
einen Wert
zuordnet und in jeder Komponente linear ist.
Multilinearformen
Eine Abbildung
,
welche für alle
,
und
für festes, beliebiges ![i \in \{1, \ldots, p\}](/pictures/dewiki/99/c26179b58f61eb530244b7c3ce7ed4f0.png)
![\omega\left(v_1,\ldots,\lambda \;v_i+\mu \;w_i,\ldots,v_p\right) = \lambda \;\omega\left(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_p\right)+\mu\;\omega\left(v_1,\ldots,w_i,\ldots,v_p\right)](/pictures/dewiki/52/40dc2e767c7818d9a2439da930582f70.png)
erfüllt, heißt multilineare Abbildung. Die Menge aller multilinearen Abbildungen
bildet einen K-Vektorraum. Im Fall
schreibt man
.
Alternierende Multilinearformen
Eine Multilinearform
heißt alternierende Multilinearform, falls sie bei Vertauschung von je zwei Argumenten ihr Vorzeichen wechselt, d.h.
![\omega\left(v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_p\right)= -\omega\left(v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_p\right)](/pictures/dewiki/53/5d4f81cc33f246d7cbae9ad370a7d07f.png)
für alle
und
.
Die Menge aller alternierenden Multilinearformen Ωp(V) ist ein Unterraum von
.
Wichtig ist der Spezialfall
. Dann ist
ein 1-dimensionaler Unterraum von
, und seine Elemente heißen Determinantenfunktionen.
Beispiele
- 1. Linearformen (Skalarprodukt mit vorgegebenem Vektor) sind genau die 1-Multilinearformen.
- 2. Bilinearformen sind genau die 2-Multilinearformen. Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen.
- 3. Bildet man aus n Vektoren durch Zusammenfassen eine quadratische Matrix, so ist die Determinante dieser Matrix eine alternierende, normierte Multilinearform. Im dreidimensionalen Fall ist also ω definiert durch
![\omega\left(v_1,v_2,v_3\right):=
\det\begin{pmatrix}
v_{1x} & v_{2x} & v_{3x} \\
v_{1y} & v_{2y} & v_{3y} \\
v_{1z} & v_{2z} & v_{3z}
\end{pmatrix}](/pictures/dewiki/102/f53d9c2ce125d406f7ecd4ff59538400.png)
- eine alternierende 3-Multilinearform. Dabei sind die Vektoren v1,v2,v3 folgendermaßen in Koordinaten dargestellt:
.
- 4. Kovariante Tensoren sind Multilinearformen: In dem Fall, dass alle Vektorräume Vi identisch sind (also Vi = V), ist die p-Multilinearform auch ein kovarianter Tensor p-ter Stufe. Im selben Fall sind die alternierenden p-Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren p-ter Stufe.
Verallgemeinerung
Es seien Moduln
über einem kommutativen Ring R gegeben. Eine Abbildung
heißt multilineare Abbildung, wenn sie in jeder Komponenten linear ist, d.h., für alle
und alle
ist
![A_i \to B ,~ a_i \mapsto m(a_1,\dots,a_i,\dots,a_n)](/pictures/dewiki/51/3f5a315103c83d8c59b2c0f52c0e7927.png)
ein R-Modulhomomorphismus.
Multilinearformen sind spezielle multilineare Abbildungen, für die nämlich R ein Körper und B = R ist.
Multilineare Abbildungen werden benötigt, um das Tensorprodukt mittels der folgenden universellen Eigenschaft zu definieren, und sie werden damit zugleich klassifiziert: Für jede multilineare Abbildung
gibt es genau einen Homomorphismus
, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
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