- Determinantenfunktion
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In der Linearen Algebra ist eine Determinantenfunktion eine spezielle Funktion, die einer Folge von n Vektoren eines n-dimensionalen Vektorraums eine Zahl zuordnet.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K. Dann heißt eine Funktion
Determinantenfunktion, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:
- f ist multilinear, d.h. linear in jeder Variablen:
(Additivität)
(Homogenität)
- f ist alternierend:
Eigenschaften
- Eine Determinatenfunktion ist schiefsymmetrisch, allgemeiner gilt für eine Permutation σ:
, wobei sgn das Signum der Permutation bezeichnet.
- Sind
linear abhängig, so gilt
. Für eine nicht-triviale Determinantenfunktion (d.h.
) gilt auch die Umkehrung dieser Aussage.
- Sind
zwei Determinantenfunktionen und
, dann gibt es ein
so, dass
. Das bedeutet, dass es bis auf eine Normierungskonstante nur eine nicht-triviale Determinantenfunktion gibt, alle anderen Determinatenfunktionen lassen sich durch Multiplikation mit einer Konstanten gewinnen. Tatsächlich existiert auf jedem Vektorraum eine nicht-triviale Determinantenfunktion.
Beispiele
- Die Nullfunktion ist die sog. triviale Determinatenfunktion.
, mit der üblichen Determinante als Determinantenfunktion.
- Aus dem vorangehenden Beispiel durch Multiplikation der Determinante mit einer Konstante gewonnene Determinantenfunktionen.
Literatur
- H. Zieschang: Lineare Algebra und Geometrie. B.G. Teubner, Stuttgart 1997. ISBN 3-519-02230-3
- S. Bosch: Lineare Algebra. Springer-Verlag, Münster 2008. ISBN 3-540-76437-2
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