Determinantenfunktion

In der Linearen Algebra ist eine Determinantenfunktion eine spezielle Funktion, die einer Folge von n Vektoren eines n-dimensionalen Vektorraums eine Zahl zuordnet.

Definition

Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K. Dann heißt eine Funktion $f\colon V^n\rightarrow K$ Determinantenfunktion, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

• f ist multilinear, d.h. linear in jeder Variablen:

$\forall \, i \in\left\{1,\ldots,n\right\}, \; \forall \, a, b \in V\colon f\left(v_1,\ldots,v_{i-1},a+b,v_{i+1},\ldots,v_n\right) = f\left(v_1,\ldots,v_{i-1},a,v_{i+1},\ldots,v_n\right) + f\left(v_1,\ldots,v_{i-1},b,v_{i+1},\ldots,v_n\right)$ (Additivität)

$\forall \, i \in\left\{1,\ldots,n\right\}, \; \forall \, a \in V, \; \forall \, r \in K\colon f\left(v_1,\ldots,v_{i-1},r \cdot a,v_{i+1},...,v_n\right) = r \cdot f\left(v_1,\ldots,v_{i-1},a,v_{i+1},\ldots,v_n\right)$ (Homogenität)

• f ist alternierend:

$\left(\exists \, r, s \in\left\{1,\ldots,n\right\}, r\ne s\colon v_r=v_s\right)\Rightarrow f\left(v_1,v_2,\ldots,v_n\right)=0$

Eigenschaften

• Eine Determinatenfunktion ist schiefsymmetrisch, allgemeiner gilt für eine Permutation σ: $f\left(v_{\sigma(1)}, v_{\sigma(2)}, \dots, v_{\sigma(n)}\right) = \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot f\left(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}\right)$, wobei sgn das Signum der Permutation bezeichnet.

• Sind $v_1, v_2, \dots, v_n \in V$ linear abhängig, so gilt $f(v_1, v_2, \dots, v_n) = 0$. Für eine nicht-triviale Determinantenfunktion (d.h. $f \not \equiv 0$) gilt auch die Umkehrung dieser Aussage.

• Sind $f,g : V^n \rightarrow K$ zwei Determinantenfunktionen und $f \not \equiv 0$, dann gibt es ein $a \in K$ so, dass $g(v_1, v_2, \dots, v_n) = a \cdot f(v_1, v_2, \dots, v_n) \; \forall \, v_1, v_2, \dots, v_n \in V$. Das bedeutet, dass es bis auf eine Normierungskonstante nur eine nicht-triviale Determinantenfunktion gibt, alle anderen Determinatenfunktionen lassen sich durch Multiplikation mit einer Konstanten gewinnen. Tatsächlich existiert auf jedem Vektorraum eine nicht-triviale Determinantenfunktion.

Beispiele

• Die Nullfunktion ist die sog. triviale Determinatenfunktion.
• $V = \mathbb{R}^n$, mit der üblichen Determinante als Determinantenfunktion.
• Aus dem vorangehenden Beispiel durch Multiplikation der Determinante mit einer Konstante gewonnene Determinantenfunktionen.

Literatur

• H. Zieschang: Lineare Algebra und Geometrie. B.G. Teubner, Stuttgart 1997. ISBN 3-519-02230-3
• S. Bosch: Lineare Algebra. Springer-Verlag, Münster 2008. ISBN 3-540-76437-2