Alternierende Reihe

Eine alternierende Reihe ist eine Reihe, bei der die Glieder der Folge, welche die Reihe konstruiert, abwechselnd nichtnegativ und nichtpositiv sind:

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n$

Ein einfaches Beispiel einer alternierenden Reihe ist die alternierende harmonische Reihe

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4} +- \ldots=\ln 2$

im Gegensatz zur harmonischen Reihe

$\sum_{k=1}^\infty \frac1k = 1+\frac12+\frac13+\frac14+\ldots\to\infty$

Die wahrscheinlich bekanntesten alternierenden Reihen sind die Reihenentwicklungen des Sinus und Kosinus.

$\sin(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +- \ldots$

$\cos(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} +- \ldots$

Zur Untersuchung der Konvergenz dieser Reihen kann das Leibniz-Kriterium angewandt werden.