Unterraum

Als Raum bezeichnet man in der Mathematik eine Menge F versehen mit einer mathematischen Struktur. Unter einem Unterraum oder Teilraum versteht man eine Teilmenge $G \subseteq F$, welche bezüglich der Struktur im weitesten Sinne abgeschlossen ist. Die genaue Definition hängt von der Struktur ab, eine Liste verschiedener Räume findet sich unter Raum (Mathematik).

Beispiele

Untervektorraum

V sei ein Vektorraum über einem Körper K. Eine Teilmenge W von V heißt Untervektorraum von V, wenn sie mit den von V induzierten Verknüpfungen selbst ein Vektorraum ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn

• $0\in W$ und
• für alle $u,v \in W$ auch $u+v \in W$ (Abgeschlossenheit bezüglich der Addition) und
• für alle $\lambda \in K$ und alle $u \in W$ auch $\lambda\cdot u \in W$ (Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation)

gilt.

Auch die folgende, äquivalente Definition eines Untervektorraums wird des öfteren benutzt:

V sei ein Vektorraum über einem Körper K. Eine Teilmenge W von V ist genau dann Untervektorraum von V, wenn

• $0\in W$ und
• für alle $\lambda, \mu \in K$ und für alle $u,v \in W$ stets $\lambda \cdot u+\mu \cdot v \in W$

gilt.

Man beachte dabei, dass die $0 \in W$ gerade das neutrale Element von V ist, welches man ja, wenn man V vorliegen hat, zur Hand hat.

Topologischer Raum

$(X, \mathcal{O})$ sei ein topologischer Raum auf der Menge X mit der Familie der offenen Mengen $\mathcal{O}$. Jede Teilmenge $U \subseteq X$ wird zu einem Unterraum, wenn darauf die Durchschnitte von U mit den in X offenen Mengen mit als offene Mengen des Unterraums definiert werden. $\left(U, \left\{O \cap U \,|\, O \in \mathcal{O} \right\}\right)$ wird damit zu einem topologischen Raum, der die Unterraumtopologie trägt.

Dieser Unterraum erbt im Allgemeinen nicht alle Eigenschaften des größeren Raumes $(X, \mathcal{O})$, zum Beispiel kann die Trennungseigenschaft T₄ verloren gehen.

Metrischer Raum

$\left(X,d\right)$ sei ein metrischer Raum. Jede Teilmenge $U \subseteq X$ wird zu einem Unterraum $(U,d|_{U\times U})$ durch Einschränken der Metrik von $X \times X$ auf $U \times U$.

Falls $\left(X,d\right)$ ein vollständiger metrischer Raum ist, so ist $(U,d|_{U \times U})$ genau dann ein vollständiger metrischer Raum, wenn $U \subseteq X$ abgeschlossen ist.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag, ISBN 3-540-67790-9
• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0